Exercícios Resolvidos de Propriedades dos Determinantes

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Enunciado

Considere a matriz A = 1 0 1 1 2 1 - 1 - 1 1 - 1 1 1 - 1 1 - 1 2

a Calcule o determinante da matriz A .

b Essa matriz é inversível? Se sim, calcule A - 1 , se não, justifique.

Passo 1

a Sabemos que a operação elementar L i ← L i + k L j não altera o determinante. Logo, podemos fazer:

1 0 1 1 2 1 - 1 - 1 1 - 1 1 1 - 1 1 - 1 2 → L 4 ← L 4 + L 3 1 0 1 1 2 1 - 1 - 1 1 - 1 1 1 0 0 0 3 → L 2 ← L 2 + L 3 1 0 1 1 3 0 0 0 1 - 1 1 1 0 0 0 3 → L 1 ← L 1 - L 3 0 1 0 0 3 0 0 0 1 - 1 1 1 0 0 0 3

Onde o determinante dessa última matriz é igual ao dá primeira. Aplicando Laplace na primeira linha:

0 1 0 0 3 0 0 0 1 - 1 1 1 0 0 0 3 = 1 ∙ - 1 2 + 1 ∙ 3 0 0 1 1 1 0 0 3 = - 9

Passo 2

b Como det ⁡ A = - 9 ≠ 0 , A é inversível. Invertendo:

1 0 1 1 2 1 - 1 - 1 1 - 1 1 1 - 1 1 - 1 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 → L 2 ← L 2 - 2 L 1 L 3 ← L 3 - L 1 L 4 ← L 4 + L 1 1 0 1 1 0 1 - 3 - 3 0 - 1 0 0 0 1 0 3 1 0 0 0 - 2 1 0 0 - 1 0 1 0 1 0 0 1 → L 3 ← L 3 + L 2 L 4 ← L 4 - L 2 1 0 1 1 0 1 - 3 - 3 0 0 - 3 - 3 0 0 3 6 1 0 0 0 - 2 1 0 0 - 3 1 1 0 3 - 1 0 1 → L 3 ← - L 3 3 1 0 1 1 0 1 - 3 - 3 0 0 1 1 0 0 3 6 1 0 0 0 - 2 1 0 0 1 - 1 3 - 1 3 0 3 - 1 0 1 → L 4 ← L 4 - 3 L 3 1 0 1 1 0 1 - 3 - 3 0 0 1 1 0 0 0 3 1 0 0 0 - 2 1 0 0 1 - 1 3 - 1 3 0 0 0 1 1 → L 4 ← L 4 3 1 0 1 1 0 1 - 3 - 3 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 - 2 1 0 0 1 - 1 3 - 1 3 0 0 0 1 3 1 3 → L 1 ← L 1 - L 4 L 2 ← L 2 + 3 L 4 L 3 ← L 3 - L 4 1 0 1 0 0 1 - 3 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 - 1 3 - 1 3 - 2 1 1 1 1 - 1 3 - 2 3 - 1 3 0 0 1 3 1 3 → L 1 ← L 1 - L 3 L 2 ← L 2 + 3 L 3 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 3 1 3 0 1 0 - 1 0 1 - 1 3 - 2 3 - 1 3 0 0 1 3 1 3

UFA!! Finalmente achamos nossa inversa!!!

A - 1 = 0 1 3 1 3 0 1 0 - 1 0 1 - 1 3 - 2 3 - 1 3 0 0 1 3 1 3

Resposta

a det ⁡ A = - 9

b Sim. A - 1 = 0 1 3 1 3 0 1 0 - 1 0 1 - 1 3 - 2 3 - 1 3 0 0 1 3 1 3

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