Exercícios Resolvidos de Propriedades dos Determinantes

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Enunciado

Seja A uma matriz 4 × 4 . Considere as afirmativas:

(I) Se det ⁡ A = 3 , então det ⁡ 3 A = 9 .

(II) det ⁡ A 3 = det ⁡ A 3

(a) (I) é falsa e (II) é falsa.

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

Passo 1

(I) Cuidado!!!

Lembra que quando multiplicamos uma linha/coluna por um escalar, o determinante da matriz também fica multiplicado por esse escalar??

Se temos que:

det ⁡ A = 3

Quando multiplicamos a matriz inteira por 3, estamos multiplicando cada uma de suas 4 linhas (ou, da mesma forma, das suas 4 colunas) por 3.

Então o determinante ficou multiplicado por 3 4 vezes e:

det ⁡ 3 A = 3 4 det ⁡ A = 3 5

Por isso essa afirmação é falsa.

Passo 2

(II) Temos

det ⁡ A 3 = d e t ⁡ ( A × A × A )

Logo, pela regra do produto:

det ⁡ A 3 = det ⁡ A × det ⁡ A × det ⁡ A = det ⁡ A 3

E a afirmação (II) é verdadeira.

Resposta

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

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