Exercícios Resolvidos de Propriedades dos Determinantes

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Enunciado

Compute o determinante da matriz A ∈ M n × n :

A = 0 1 0 ⋯ 0 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 1 0 0 ⋯ 0

a   - 1 n

b   - 1 n - 1

c   1

d - 1

Passo 1

Repare que essa matriz é quase a identidade! E sabemos que o determinante da matriz identidade vale 1 certo?

Até aí tudo bem, então o que temos que fazer pra transformar a identidade nessa nossa matriz? É só pegarmos a primeira linha e ir descendo ela! Primeiro trocamos ela de lugar com a linha 2 , depois com a 3 , 4 , e assim por diante, até ela chegar na linha n .

E a cada troca de linhas nosso determinante terá o sinal trocado né? Então fica algo assim:

1 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 1 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 0 0 0 0 ⋯ 0 1 det ⁡ I ∙ - 1 → 0 1 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 1 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 0 0 0 0 ⋯ 0 1 det ⁡ I ∙ - 1 2 → 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 1 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 0 0 0 0 ⋯ 0 1       ⋯       det ⁡ I ∙ - 1 n - 1 → 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 1 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 1 1 0 0 ⋯ 0 0

Sacou? Como a matriz tem n linhas, tivemos que trocar a primeira linha de lugar n - 1 vezes pra ela chegar no final! E como o det ⁡ I = 1 , o determinante da nossa matriz A será:

det ⁡ A = - 1 n - 1

Resposta

Letra b

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