Exercícios Resolvidos de Propriedades dos Determinantes

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Enunciado

Considere as afirmativas:

  1. Seja A uma matriz n × n com n ímpar. Se A = - A T , então D e t A = 0
  2. Sejam A e B matrizes n × n . Se B não é injetiva então D e t A B = 0

a   A afirmativa I é verdadeira e a afirmativa I I é verdadeira

b   A afirmativa I é falsa e a afirmativa I I é verdadeira

c   A afirmativa I é verdadeira e a afirmativa I I é falsa

d   A afirmativa I é falsa e a afirmativa I I é falsa

Passo 1

Afirmativa I :

Ta, essa é meio chatinha. Lembra o que acontece com o determinante se multiplicamos a linha de uma matriz por um escalar? O determinante também é multiplicado pelo escalar!

E o que acontece se multiplicarmos todas as n linhas de uma matriz pelo mesmo escalar? Bom, o determinante dela será multiplicado por esse escalar n vezes certo? Então temos que se A é n × n :

det ⁡ - A = - 1 n det ⁡ A

E como sabemos que n é ímpar:

det ⁡ - A = - det ⁡ A

Beleza, agora a segunda coisa que você tinha que lembrar é o seguinte:

det ⁡ A = det ⁡ A T

Agora vamos ver o que a afirmação fala:

A = - A T

Bom, se elas são iguais seus determinantes obviamente também são:

det ⁡ A = det ⁡ - A T

Usando que det ⁡ - A = - det ⁡ A :

det ⁡ A = - det ⁡ A T

Usando que det ⁡ A = det ⁡ A T :

det ⁡ A = - det ⁡ A ⇒ det ⁡ A = 0

Então essa afirmativa é verdadeira!

Passo 2

Afirmativa I I :

Sabemos que o determinante do produto é o produto dos determinantes:

det ⁡ A B = det ⁡ A ∙ det ⁡ B

Além disso, sabemos que B não é injetiva, isso implica diretamente no determinante de B ser igual a 0 como vimos no nosso bizu. Logo:

det ⁡ A B = det ⁡ A ∙ 0 = 0

Essa também é verdadeira.

Resposta

Letra ( a )

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