Exercícios Resolvidos de Propriedades dos Determinantes

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Enunciado

Considere a matriz A = 1 2 1 0 2 0 0 1 0 2 1 0 2 - 1 0 1 .

a Calcule det ⁡ A .

b A matriz A é inversível? Se sim, encontre sua inversa.

Passo 1

a Fazendo operações do tipo L i ← L i + k ∙ L j , sabemos que o determinante não se altera. Então vamos fazer L 1 ← L 1 - L 3 .

Então queremos achar o determinante dessa matriz agora:

1 0 0 0 2 0 0 1 0 2 1 0 2 - 1 0 1

Resolvendo por Laplace na primeira linha:

det ⁡ A = 1 ∙ - 1 1 + 1 ∙ 0 0 1 2 1 0 - 1 0 1 = 1

Passo 2

b Como det ⁡ A ≠ 0 , a matriz é inversível. Vamos achar a inversa dela:

1 2 1 0 2 0 0 1 0 2 1 0 2 - 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 → L 1 ← L 1 - L 3 L 2 ← L 2 - L 4 1 0 0 0 0 1 0 0 0 2 1 0 2 - 1 0 1 1 0 - 1 0 0 1 0 - 1 0 0 1 0 0 0 0 1 → L 3 ← L 3 - 2 L 2 L 4 ← L 4 - 2 L 1 + L 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 - 1 0 0 1 0 - 1 0 - 2 1 2 - 2 1 2 0

A - 1 = 1 0 - 1 0 0 1 0 - 1 0 - 2 1 2 - 2 1 2 0

Resposta

a det ⁡ A = 1

b Sim. A - 1 = 1 0 - 1 0 0 1 0 - 1 0 - 2 1 2 - 2 1 2 0

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