Exercícios Resolvidos de Propriedades dos Determinantes

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Enunciado

Diga se as alternativas abaixo são verdadeiras ou falsas:

  1. Se det ⁡ A 3 × 3 = a e det ⁡ B 3 × 3 = b então det ⁡ 3 A B 2 T = 3 b 2 a
  2. Se det ⁡ M = c 4 e det ⁡ D = 6 c ,   c ∈ R * então det ⁡ M - 1 D T = 24

a   Ambas são verdadeiras

b   I é verdadeira e II é falsa

c   I é falsa e II é verdadeira

d   Ambas são falsas

Passo 1

Vamos analisar as afirmativas.

Na afirmativa I , sabemos que ele quer o determinante da matriz 3 A B 2 T . Bom, sabemos que o determinante da transposta de uma matriz é igual ao determinante dela, então:

det ⁡ 3 A B 2 T = det ⁡ 3 A B 2

Agora é só lembrar que o determinante do produto de duas matrizes é o produto dos determinantes de cada uma!

Mas não se esqueça do nosso escalar real! Lembra da propriedade que cada vez que uma linha é multiplicada por um escalar real, multiplicamos o determinante?? Então, quando multiplicamos a matriz pelo escalar estamos multiplicando todas as linhas por ele, logo como a matriz é 3 × 3 estamos multiplicando o determinante por 3 3 ! Logo:

det ⁡ 3 A B 2 = 27 det ⁡ A det ⁡ B det ⁡ B = 27 a b 2

Assim podemos ver que a afirmativa é falsa.

Passo 2

Na afirmativa II, novamente podemos usar o fato de que o determinante da transposta é igual ao determinante da matriz:

det ⁡ M - 1 D T = det ⁡ M - 1 D

Como o determinante do produto é igual ao produto dos determinantes:

det ⁡ M - 1 D = det ⁡ M - 1 det ⁡ D

Por fim, sabemos que o determinante da inversa é o inverso do determinante:

det ⁡ M - 1 det ⁡ D = det ⁡ D det ⁡ M = 6 c c 4 = 24

Logo a afirmativa é verdadeira

Resposta

Letra ( c )

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