Exercícios Resolvidos de Propriedades dos Determinantes

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Enunciado

a) A soma de duas matrizes inversíveis é uma matriz inversível.

Passo 1

Bom, vamos tentar achar um contra exemplo pra isso aí!

Para a matriz ser inversível, preciso que seu determinante seja diferente de 0.

Então preciso de duas matrizes cujo determinante seja diferente de zero e somadas deem uma matriz com determinante igual a zero.

A = 2 3 1 3 7 - 2 6 8 3

B = 6 7 - 1 5 8 2 0 3 - 3

Escolhi duas matrizes que a soma vai zerar alguma coluna, já que a coluna zerada leva o determinante a ser zero!

Passo 2

Mas temos que verificar ainda se essas duas aí que eu chutei são inversíveis.

det ⁡ A = 2 3 1 3 7 - 2 6 8 3 = 42 - 36 + 24 - 42 - 27 + 32 = - 7

det ⁡ B = 6 7 - 1 5 8 2 0 3 - 3 = - 144 - 15 - 36 + 105 = - 90

Prontinho, provado que são duas matrizes inversíveis!

Agora vamos somá-las:

A + B = 8 10 0 8 15 0 6 11 0

det ⁡ A + B = 8 10 0 8 15 0 6 11 0 = 0 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = 0

Resposta

Falsa

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