Exercícios Resolvidos de Propriedades dos Determinantes

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Enunciado

Quais são todos os valores de a ∈ R para os quais o operador linear T : R 3 → R 3 dado por T x , y , z = a x + 2 a y + 2 z , a y + z , a x + 2 y - z NÃO é invertível?

a   a ∈ 0,2

b   a = 0

c   a ∈ 0 , - 2

d   a qualquer

Passo 1

Trabalhar com T L pode ser bem chato né? Tipo agora por exemplo. Vamos passar essa T L pra forma matricial pra ver no que dá:

T x , y , z = a x + 2 a y + 2 z a y + z a x + 2 y - z = a 2 a 2 0 a 1 a 2 - 1 x y z

A partir daqui existem várias formas de se resolver a questão. Vamos resolver através do determinante da matriz! Calculando ele temos que:

a 2 a 2 0 a 1 a 2 - 1 = - a 2 + 2 a 2 - 2 a 2 - 2 a = - a 2 - 2 a

Sabemos que uma matriz não é invertível se seu determinante é igual à zero, então:

- a 2 - 2 a = 0

a 2 = - 2 a

a = 0   o u - 2

Então para a = 0 ou a = - 2 o determinante zera e a T L não é invertível.

Resposta

Letra ( c )

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