Calcule:

g ) lim x →   - ∞ ⁡ x 2 + x 2 + 1 x

Passo 1

Falaa, meu povo lindo!! Quais as novidades por aí? Por aqui, eu já tenho certeza que vamos sair craques nessa matéria com a resolução dessa questãozinha. Bora??

Nessa questão devemos calcular o limite da função x 2 + x 2 + 1 x quando x tende ao - ∞ .

Blz, e qual estratégia adotamos para resolver questões de limites??

De início é fundamental tentar substituir primeiro o valor de x desejado e a partir daí bolamos algum modo de resolver. Tranquilo?

Passo 2

Primeiro de tudo vamos substituir o valor de x   por - ∞   ...

lim x →   - ∞ ⁡ x 2 + x 2 + 1 x =   lim x →   - ∞ ⁡ ( - ∞ ) 2 + ( - ∞ ) 2 + 1 ∞

=   lim x →   - ∞ ⁡ ∞ + ∞ -   ∞

= lim x →   - ∞ ⁡ ∞ - ∞

Chegamos a uma indeterminação matemática, já que não é possível determinar se o resultado dessa divisão é 1   ou   ∞ .

Passo 3

Como o nosso x tende ao menos infinito, para resolver essa indeterminação vamos ter que colocar em evidência o termo de maior potência. Porque qualquer número dividido por um número muito grande como o infinito vai ter a tendência a ser zero.

Logo,

lim x →   - ∞ ⁡ x 2 + x 2 + 1 x =   lim x →   - ∞ ⁡ x 2 - x 1 + 1 x ² x

Lembrando que quando x < 0 :

x 2 =   - x

Isso porque a raiz de um número, é sempre um número positivo. Por exemplo:

25 =   + 5

E, dentro do limite, o x vai ser substituído por um número mesmo, então o seu resultado é positivo. Mas, x < 0 , então o número positivo que resulta da aplicação da raiz é justamente - x . Sacou?

Prosseguindo...

= lim x →   - ∞ ⁡ - x 1 - 1 + 1 x ² x x

= ⁡ lim x →   - ∞ ⁡ - 1 - 1 + 1 x ² x

Passo 4

Agora é o momento em que vamos substituir o valor de x .

= l i m x →   - ∞ - 1 - 1 + 1 ∞ ∞

= ⁡ lim x →   - ∞ ⁡ - 1 - 1 + 0 ∞

= l i m x →   - ∞ - 1 - 1 ∞

= ⁡ lim x →   - ∞ ⁡ - 1 - 0

Como o limite de uma constante é a própria constante

= lim x →   - ∞ - 1 ⁡ = - 1

Resposta

- 1

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