Calcule

h )   lim x →  ∞ ⁡ x 2 + 1 x 2 + x 2 + 1  

Passo 1

Falaaa, meu povo lindo!! Quais as novidades por aí, além de que o Responde Aí tá te deixando suuuper confiante nas matérias?? Hmm, então bora ficar em mais uma, com essa questão??

Temos que calcular nessa questão o limite da expressão x 2 + 1 x 2 + x 2 + 1   quando x → ∞ . Como podemos iniciar esse probleminha???

Passo 2

Esse início se torna até um pouco “mecânico” porque temos que sempre começar substituindo pelo valor a qual o x tende. Nesse caso, vamos substituir x   por infinito.

lim x →  ∞ ⁡ x 2 + 1 x 2 + x 2 + 1   = lim x →  ∞ ⁡ ∞ 2 + 1 ∞ 2 + ∞ 2 + 1   = ∞ ∞

E chegamossss a uma indeterminação!

Se caracteriza como uma indeterminação porque não conseguimos determinar se o resultado da divisão ∞ ∞ é um ou infinito. Dessa forma são necessárias algumas estratégias para fugir dessa indeterminação.

Passo 3

Como temos a presença do termo x 2 + 1 tanto no numerador quanto no denominador vamos utilizar a técnica de substituição para deixar a nossa expressão matemática mais simples.

u = x 2 + 1

u 2 = x 2 + 1

x 2 = u 2 - 1

E como

x   → ∞

u → ∞

Assim o nosso limite terá a seguinte carinha...

lim x →  ∞ ⁡ x 2 + 1 x 2 + x 2 + 1   = lim u →  ∞ ⁡ u u 2 - 1 + u

Colocando u 2 em evidência no denominador:

=   lim u →  ∞ ⁡ u u 1 - 1 u 2 + 1 u

= lim u →  ∞ ⁡ 1 1 - 1 u 2 + 1 u

Substituindo o valor de u por , temos:

= lim u →  ∞ ⁡ 1 1 - 1 ∞ ² + 1 ∞

= lim u →  ∞ ⁡ 1 1 - 0 + 0

= lim u →  ∞ ⁡ 1 1 = 1

Lembrando que não é preciso voltar pra variável inicial, já que quando determinamos a variável u verificamos logo para onde ele tenderia. Logo, o valor do limite será o mesmo!

Resposta

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