1c) Calcule ou justifique caso não exista, cada um dos limites abaixo

lim x → + ∞ ⁡ x 3 cos ⁡ x 3 x 4 + 2 x 2 - 10

Passo 1

Eita, limite doido! Tem um cosseno em cima e varios termos com potências de x ! E agora? Calma jovem gafanhoto! Se você usar as propriedades dos limites, tudo fica mais tranquilo. Quer ver?

lim x → + ∞ ⁡ x 3 cos ⁡ x 3 x 4 + 2 x 2 - 10 = lim x → + ∞ ⁡ x 3 3 x 4 + 2 x 2 - 10 ∙ lim x → + ∞ ⁡ cos ⁡ x

E agora vamos resolver separadamente esses limites, beleza?

Passo 2

Começando pelo primeiro limite, temos:

lim x → + ∞ ⁡ x 3 3 x 4 + 2 x 2 - 10

Opa, já que é tudo potência de x , posso por, em cima e em baixo, os termos com maior potência em evidência. Vamos ficar com:

lim x → + ∞ ⁡ x 3 3 x 4 + 2 x 2 - 10 = lim x → + ∞ ⁡ x 3 1 x 4 3 + 2 x 2 - 10 x 4 = lim x → + ∞ ⁡ 1 x 3 + 2 x 2 - 10 x 4

Usando de novo as propriedades dos limites, podemos entender esse último como:

lim x → + ∞ ⁡ 1 x 3 + 2 x 2 - 10 x 4 = lim x → + ∞ ⁡ 1 x ∙ lim x → + ∞ ⁡ 1 3 + 2 x 2 - 10 x 4

E calculando os dois, temos:

lim x → + ∞ ⁡ 1 x = 0

lim x → + ∞ ⁡ 1 3 + 2 x 2 - 10 x 4 = 1 3 + 0 - 0 = 1 3

No final das contas, o limite vai ser:

lim x → + ∞ ⁡ x 3 3 x 4 + 2 x 2 - 10 = lim x → + ∞ ⁡ 1 x ∙ lim x → + ∞ ⁡ 1 3 + 2 x 2 - 10 x 4

lim x → + ∞ ⁡ x 3 3 x 4 + 2 x 2 - 10 = 0 ∙ 1 3

lim x → + ∞ ⁡ x 3 3 x 4 + 2 x 2 - 10 = 0

Passo 3

Agora falta a gente resolver só mais um limite:

lim x → + ∞ ⁡ cos ⁡ x

Mas opa, peraí, função cos ⁡ x não é uma função cíclica? Pô esse limite não existe! Bem, ele pode não existir, mas como:

lim x → + ∞ ⁡ x 3 cos ⁡ x 3 x 4 + 2 x 2 - 10 = lim x → + ∞ ⁡ x 3 3 x 4 + 2 x 2 - 10 ∙ lim x → + ∞ ⁡ cos ⁡ x

Vamos ter que usar o teorema do confronto! Como - 1 ≤ cos ⁡ x ≤ 1 , então vamos ter

lim x → + ∞ ⁡ x 3 - 1 3 x 4 + 2 x 2 - 10 ≤ lim x → + ∞ ⁡ x 3 cos ⁡ x 3 x 4 + 2 x 2 - 10 ≤ lim x → + ∞ ⁡ x 3 ( 1 ) 3 x 4 + 2 x 2 - 10

E como no passo anterior descobrimos que:

lim x → + ∞ ⁡ x 3 3 x 4 + 2 x 2 - 10 = 0

Os dois limites das pontas vão tender a 0 , ou seja

0 ≤ lim x → + ∞ ⁡ x 3 cos ⁡ x 3 x 4 + 2 x 2 - 10 ≤ 0

Isso só pode significar que o nosso limite é nulo! Fechamos com chave de ouro essa questão!

lim x → + ∞ ⁡ x 3 cos ⁡ x 3 x 4 + 2 x 2 - 10 = 0

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ x 3 cos ⁡ x 3 x 4 + 2 x 2 - 10 = 0

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