Em alguns casos, o cálculo do limite no infinito de frações pode ser feito identificando se

os termos dominantes do numerador e do denominador, e colocando-se um deles em

evidência. Por exemplo,

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + 4 x - 2 1 - x 3 = lim x → - ∞ ⁡ x 3 1 x + 4 x 2 - 2 x 3 x 3 1 x 3 - 1 = lim x → - ∞ ⁡ 1 x + 4 x 2 - 2 x 3 1 x 3 - 1 = 0 - 1 = 0

Siga este procedimento para calcular os limites abaixo.

e ) lim x → ± ∞ ⁡ x 2 - 2 x + 2 x + 1

Passo 1

Fala pessoal, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar aqui!

Vamos seguir o procedimento do enunciado:

  • Identificar o termo dominante (maior expoente) e colocar ele em evidência
  • Analisar o limite no infinito novamente, lembrando que lim x → ± ∞ ⁡ 1 x n = 0 para n ≥ 1

E é isso!

Mas relaxa, vou fazer junto com você! Bora começar?

Passo 2

Passo 3

Vamos analisar esse limite aqui:

lim x → ± ∞ ⁡ x 2 - 2 x + 2 x + 1

O termo predominante aí é o x 2 , mas como ele está dentro da raiz, ele se comporta como um x . Então a ideia aqui é colocar x 2 dentro da raiz em evidência e x no denominador em evidência:

lim x → ± ∞ ⁡ x 2 1 - 2 x + 2 x 2 x 1 + 1 x = lim x → ± ∞ ⁡ | x | . 1 - 2 x + 2 x 2 x 1 + 1 x

Lembrando que x 2 = | x |

Tudo bem até aqui?

Passo 4

Agora nossa missão é analisar novamente o limite, mas temos dois limites: ± ∞ . Como a função envolve o módulo de x , precisamos lembrar que essa é uma função definida por partes:

x = + x ,   s e   x > 0 - x ,   s e   x < 0

Então para cada limite, precisamos usar a parte correspondente do módulo, beleza?

Primeiro analisando o limite para x → + ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ | x | . 1 - 2 x + 2 x 2 x 1 + 1 x = lim x → + ∞ ⁡ x . 1 - 2 x + 2 x 2 x 1 + 1 x

Agora podemos simplificar e analisar o limite:

lim x → + ∞ ⁡ 1 - 2 x + 2 x 2 1 + 1 x = 1 1 = 1

Tudo bem até aqui? Agora para x → - ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ | x | . 1 - 2 x + 2 x 2 x 1 + 1 x = lim x → + ∞ ⁡ - x . 1 - 2 x + 2 x 2 x 1 + 1 x

= lim x → + ∞ ⁡ - 1 . 1 - 2 x + 2 x 2 1 + 1 x = - 1 1 = - 1

Então esses limites ficam assim:

+ 1 ,   s e   x → + ∞   - 1 ,   s e   x → - ∞

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

+ 1 ,   s e   x → + ∞   - 1 ,   s e   x → - ∞

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