UFF, Niterói - Praia Vermelha, Cálculo IA, P2 - 2022.2, Questão 3b
Calcule os limites abaixo, caso existam.
Passo 1
Fala aí pessoal, tudo beleza com vocês?
Nessa questão precisamos calcular o seguinte limite:
O primeiro passo nas questões de limite é sempre substituir o valor que está tendendo. Assim, teríamos algo do tipo:
Puts, isso não ajuda muito a gente. A base está indo pra infinito, mas o expoente está indo pra zero!
Precisamos de outra técnica pra resolver isso daí!
Um truque super legal e que vale muito a pena ter bem guardado na memória, é usar o artifício do exponencial.
Basicamente a ideia é aplicar o no nosso limite, realizar algumas propriedades que nos ajudem e depois aplicar a exponencial novamente, voltando ao nosso limite original.
Vem comigo que vamos ver essa técnica bem direitinho 😊
Passo 2
Se o limite:
existe e é finito, podemos dizer que:
Assim, aplicando o dos dois lados da expressão, temos:
Mas, pela propriedade do limite de funções logarítmicas:
Temos:
Daí, aplicando a exponencial dos dois lados da equação para voltarmos a , temos:
Ficamos com:
Olha aí, precisamos apenas calcular:
Muito bom galera!
Passo 3
Agora precisamos calcular:
Novamente, o primeiro passo é substituir o valor que está tendendo dentro da nossa expressão. Fazendo isso, vemos que ficamos com:
Ou seja, uma indeterminação. Para resolver esse probleminha podemos usar o teorema de L’hopital. Assim:
Vamos então calcular essas derivadas:
Chamando de , vamos ter no primeiro termo temos:
Já no segundo termo, usando que a derivada da soma é a soma das derivadas, ficamos com:
Daí, teremos:
Logo:
Perfeito!
Vamos então resolver cada um desses limites individualmente.
Passo 4
Começando por:
Puts, outro limite complicadinho! Se temos tanto o numerador como o denominador tendem a infinito. Por isso, podemos aplicar L’hopital novamente. Daí:
Agora simmm, quando o denominador também tende a infinito mas o numerador é constante. Logo:
Assim:
Passo 5
Resolvendo agora:
Esse é mais tranquilo, pois o denominador tende a , mas o numerador é constante. Logo:
Excelente! Voltando no nosso limite principal, temos:
Mas, como vimos:
Portanto:
Portanto:
Ufaaa! Finalizamos essa questão!
Nossa, deu um trabalhinho, mas também apresentou uma técnica muito legal pra gente.
Sempre bom ter ela em mente, beleza? Valeeeu!
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais