Avalie os limites abaixo e encontre seus valores caso existam:

(a) lim x → ∞ ⁡ e - 5 x ln ⁡ ( 2 x )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos pediu pra gente calcular o limite da função e - 5 x ln ⁡ ( 2 x ) quando x tende a infinito.

Pra isso, vamos tentar transformar nossa função em um quociente, pra que a gente consiga figir da indeterminação aplicando a regra de L’Hospital (derivando numerador e denominador separadamente) e obter o valor do nosso limite.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar escrevendo nosso produto de funções, e - 5 x ln ⁡ ( 2 x ) , como um quociente na forma:

lim x → ∞ ⁡ e - 5 x ln ⁡ ( 2 x ) = lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 2 x e 5 x

Agora repare que nós temos uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ e podemos aplicar a regra de L’Hospital pra sair dela. Assim, derivando em cime e embaixo, separadamente, temos:

lim x → ∞ ⁡ 1 x 5 e 5 x

Fazendo a divisão de frações:

lim x → ∞ ⁡ 1 5 x e 5 x

Colocando a constante do lado de fora e escrevendo o limite da divisão como a divisão dos limites, temos:

1 5 lim x → ∞ ⁡ 1 x e 5 x

1 5 l i m x → ∞ 1 l i m x → ∞ x e 5 x

Assim, temos o limite de uma constante, que é a própria constante:

l i m x → ∞ 1 = 1

E o limite da exponencial, quando x vai pra infinito:

l i m x → ∞ x e 5 x = ∞

Juntando tudo, vamos ter:

1 5 l i m x → ∞ 1 l i m x → ∞ x e 5 x = 1 5 ∙ 1 ∞

= 1 ∞ = 0

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

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