Calcule o limite abaixo

l i m x → ∞ x + x + 3 2 x - 1

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Dessa vez precisamos calcular um limite. Mas é um limite especial, pois queremos o limite para quando x vale infinito ou menos infinito. Como fazemos esse cálculo? Bem, vamos dar uma revisadinha? Bora!

Bem, quando estamos querendo saber o valor de um limite, nós queremos saber como a função se comporta ao redor de um certo ponto, mas nesse caso, estamos querendo saber o comportamento da função para valores cada vez maiores ou menores, o que queremos com isso é o comportamento assintótico da função, isto é, se nos infinitos ela converge para alguma constante ou diverge (vai para mais ou menos infinito) . Ou seja, quando fazemos essa análise, só estaremos interessados nos termos de potência maior, ou nos termos que crescem mais rápidos dentro da nossa função. Uma maneira de saber a ordem de crescimento das funções é lembrar da tabelinha abaixo. Nela, as funções aparecem em ordem crescente com relação a velocidade de crescimento. Isto é, quanto mais a direita, mais rápido cresce.

c o n s t a n t e < x < x 2 < x p < e x

Essa tabelinha será útil quando estivermos trabalhando com funções da forma

f ( x ) / g ( x )

Bacana, né? Vamos resolver a questão!!!

Passo 2

Queremos calcular,

l i m x → ∞ x + x + 3 2 x - 1

Como comentamos no passo 1, o termo que vai ditar esse limite será o que tem maior crescimento, que nesse caso é o x , mas ele está no denominador e no numerador. Então, já podemos afirmar que esse limite será uma constante, mas vamos verificar o porquê disso.

l i m x → ∞ x + x + 3 2 x - 1

Usando a linearidade do limite

= l i m x → ∞ x 2 x - 1 + l i m x → ∞ x + 3 2 x - 1

No caso do segundo fator dessa soma, podemos usar a nossa tabelinha do passo 1 e verificar que o denominador cresce mais rápido que o numerador, logo esse fator convergir para zero quando x → ∞ . Então temos que

l i m x → ∞ x + x + 3 2 x - 1

= l i m x → ∞ x 2 x - 1 + l i m x → ∞ x + 3 2 x - 1

= l i m x → ∞ x 2 x - 1

colocando x em evidência

= l i m x → ∞ x x ( 2 - 1 / x )

Simplificando, temos

= l i m x → ∞ 1 ( 2 - 1 / x )

Como 1 / x converge para zero quando x vai para infinito, podemos concluir que

= l i m x → ∞ 1 ( 2 - 1 / x )

= 1 / 2

Ou seja, chegamos a conclusão que

l i m x → ∞ x + x + 3 2 x - 1 = 1 / 2

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

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