Calcule o limite abaixo

l i m x → ∞ 5 x 3 - 6 x + 1 6 x 2 + x + 3

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Dessa vez precisamos calcular um limite. Mas é um limite especial, pois queremos o limite para quando x vale infinito ou menos infinito. Como fazemos esse cálculo? Bem, vamos dar uma revisadinha? Bora!

Bem, quando estamos querendo saber o valor de um limite, nós queremos saber como a função se comporta ao redor de um certo ponto, mas nesse caso, estamos querendo saber o comportamento da função para valores cada vez maiores ou menores, o que queremos com isso é o comportamento assintótico da função, isto é, se nos infinitos ela converge para alguma constante ou diverge (vai para mais ou menos infinito) . Ou seja, quando fazemos essa análise, só estaremos interessados nos termos de potência maior, ou nos termos que crescem mais rápidos dentro da nossa função. Uma maneira de saber a ordem de crescimento das funções é lembrar da tabelinha abaixo. Nela, as funções aparecem em ordem crescente com relação a velocidade de crescimento. Isto é, quanto mais a direita, mais rápido cresce.

c o n s t a n t e < x < x 2 < x p < e x

Essa tabelinha será útil quando estivermos trabalhando com funções da forma

f ( x ) / g ( x )

Bacana, né? Vamos resolver a questão!!!

Passo 2

Queremos calcular,

l i m x → ∞ 5 x 3 - 6 x + 1 6 x 2 + x + 3

Como comentamos no passo 1, o termo que vai ditar esse limite será o que tem maior crescimento, que nesse caso é o x 3 , e como ele está no numerador, temos que a fun��ão do numerador cresce mais rápido que a função que está no denominador. Logo, o limite NO INFINITO será determinado pela função do numerador.

Colocando em evidência. Então temos:

l i m x → ∞ 5 x 3 - 6 x + 1 6 x 2 + x + 3

= l i m x → ∞ x 3 ( 5 - 6 / x 2 + 1 / x 3 ) x 2 ( 6 + 1 / x + 3 x 2 )

Simplificando, temos

= l i m x → ∞ x ( 5 - 6 / x 2 + 1 / x 3 ) ( 6 + 2 / x 3 )

Usando a linearidade do limite

= l i m x → ∞ 5 x ( 6 + 2 / x 3 ) + l i m x → ∞ 6 / x ( 6 + 2 / x 3 ) + l i m x → ∞ 1 / x 2 ( 6 + 2 / x 3 )

As duas últimas parcelas da soma vão para zero quando x → ∞ , pois os numeradores vão para zero. E a primeira parcela vai para , pois o termo dependente de x cresce quando x → ∞ . Logo, chegamos a conclusão que

l i m x → ∞ 5 x 3 - 6 x + 1 6 x 2 + x + 3 = ∞  

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

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