Seja

f x = e 2 x e x - x 10 - x 9

Então

lim x ⟶ ∞ ⁡ f ( x )

É igual a:

  1. 2 10
  2. 2 11
  3. 2 9
  4. + ∞
  5. - ∞
  6. 0
  7. 1
  8. - 1
  9. 2
  10. e 2

Não é necessário justificativa.

Passo 1

Galera, bora para mais uma questão sobre limite! O que queremos é calcular esse limite aqui:

lim x ⟶ ∞ ⁡ e 2 x e x - x 10 - x 9

Só de olhar, vamos ver que temos e x tanto no numerador quanto no denominador. Então vamos colocar ele em evidência?

lim x ⟶ ∞ ⁡ e 2 x e x - x 10 - x 9 = lim x ⟶ ∞ ⁡ e x ⋅ e x e x 1 - x 10 e x - x 9 e x

Agora podemos cortar o e x no numerador e no denominador simplificando essa conta:

lim x ⟶ ∞ ⁡ e 2 x e x - x 10 - x 9 = lim x ⟶ ∞ ⁡ e x 1 - x 10 e x - x 9 e x

Passo 2

Você concorda comigo que podemos aplicar o limite dentro das parcelas dessa conta? Veja:

lim x ⟶ ∞ ⁡ e 2 x e x - x 10 - x 9 = l i m x ⟶ ∞ e x 1 - l i m x ⟶ ∞ x 10 e x - l i m x ⟶ ∞ x 9 e x

Agora em vez de ter que calcular o limite de uma função muito grande e doida, temos 3 limites pequenininhos. Melhor ne?

Vamos fazer esses limites separadamente, se aplicarmos o valor de nos limites:

l i m x ⟶ ∞ e x = e ∞ = ∞

l i m x ⟶ ∞ x 10 e x = ∞ 10 e ∞ = ∞ ∞

l i m x ⟶ ∞ x 9 e x = ∞ 9 e ∞ = ∞ ∞

Como nos dois últimos casos, temos uma divisão entre dois valores de + ∞ , ou seja, uma indeterminação, podemos aplicar a técnica do L’Hospital!

Passo 3

Aplicando L’Hospital, derivamos o numerador e o denominador:

l i m x ⟶ ∞ x 10 e x = l i m x ⟶ ∞ 10 ⋅ x 9 e x

Se aplicarmos novamente o valor do limite, chegaremos novamente a:

l i m x ⟶ ∞ x 10 e x = ∞ 10 e ∞ = ∞ ∞

Vamos aplicar novamente a técnica de L’Hospital:

l i m x ⟶ ∞ x 10 e x → L H l i m x ⟶ ∞ 10 ⋅ x 9 e x → L H l i m x ⟶ ∞ 10 ⋅ 9 ⋅ x 8 e x

Mas isso só vai acabar quando chegarmos a não ter nenhum x no numerador, concorda? Então temos que derivar o numerador mais 8 vezes (totalizando 10 derivações ), assim, teremos no numerador isso aqui:

l i m x ⟶ ∞ x 10 e x = l i m x ⟶ ∞ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 e x = 3.628.800 e x

Agora que não tem x no numerador, não vai ter no numerador, olha:

l i m x ⟶ ∞ 3.628.800 e x = 3.628.800 e ∞ = 3.628.800 ∞ = 0

E isso também ocorre com aquele segundo limite. Pra resolver ele, vamos derivar 9 vezes, porque o x está elevado a 9:

l i m x ⟶ ∞ x 9 e x = l i m x ⟶ ∞ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 e x = 362.880 e ∞ = 362.880 ∞ = 0

Passo 4

Substituindo esses limites no nosso limite inicial:

lim x ⟶ ∞ ⁡ e 2 x e x - x 10 - x 9 = l i m x ⟶ ∞ e x 1 - l i m x ⟶ ∞ x 10 e x - l i m x ⟶ ∞ x 9 e x = ∞ 1 - 0 - 0

Agora só temos que fazer essa continha bem simples!

O denominador será igual a 1 :

lim x ⟶ ∞ ⁡ e 2 x e x - x 10 - x 9 = ∞ 1

Então no final o limite é igual a:

lim x ⟶ ∞ ⁡ e 2 x e x - x 10 - x 9 = ∞

Chegamos no final, pessoal, viu foi tranquilo!

Resposta

Letra “d”

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