Exercícios Resolvidos de Redes de Difração

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Enunciado

Uma rede de difração com 180 ranhuras por mm é iluminada na perpendicular com luz que contém os comprimentos de onda 𝜆1 = 400 𝑛𝑚 e 𝜆2 = 500 𝑛𝑚. Encontre a primeira posição angular mais próxima do centro da imagem na qual há superposição dos máximos desses diferentes comprimento de onda

Passo 1

Como sabemos que o comportamento entre todas as fendas é a mesma, vamos analisar apenas duas fendas consecutivas e descobrir o seu comportamento

Vamos entender visualmente o que o enunciado está falando

Observamos que no ponto A está ocorrendo uma interferência entre os raios, e no desenho conseguimos compreender cada um dos dados do problema. No nosso exercício onde λ está ligado ao comprimento de onda dos raios, da distância entre as fendas e L a distância até o anteparo.

Mas o que o exercício quer?

O exercício quer que encontremos a primeira posição angular mais próxima do centro da imagem na qual há superposição dos máximos desses diferentes comprimento de onda

Passo 2

Sabemos que um máximo de interferência ocorre quando podemos usar a fórmula

d .   S e n θ = m   .   λ

Não sabemos ainda a distância entre cada fenda, mas sabemos que existem 180fendas/mm, ou seja, se dividirmos 1mm pelo número de fendas nele, encontraremos a distância entre cada fenda.

Logo

d = 1 180 = 5,56 x 10 - 3 m m = 5,56 x 10 - 6 m

Sabemos também que

λ 1   =   400   n m = 400 x 10 - 9 m    

λ 2   =   500   n m = 500 x 10 - 9 m

Se isolarmos as fórmulas para cada um do comprimentos de ondas teremos que

  S e n θ = m   .   λ d

S e n θ 1 = m 1   .   λ 1 d

S e n θ 2 = m 2   .   λ 2 d

Mas sabemos que como queremos que eles se sobreponham devemos admitir que

θ 1 = θ 2

S e n θ 1 = S e n θ 2

Igualando ambos os lados das equações teremos que

m 1   .   λ 1 d = m 2   .   λ 2 d

m 1   .   λ 1 = m 2   .   λ 2

Substituindo os comprimentos de ondas, teremos que

m 1   .   400 = m 2   .   500

m 1 m 2 = 500 400

m 1 m 2 = 5 4

Como queremos que seja a menor distância até o centro da figura a menor escolha que podemos fazer é para m 1 = 5 𝑒 m 2 = 4.

Como já temos esses valores podemos substituir em qualquer uma das fórmulas que encontraremos o mesmo ângulo

S e n θ 1 = 5   x   400 x 10 - 9 5,56 x 10 - 6 = 0,360

S e n θ 2 = 4   x   500 x 10 - 9 5,56 x 10 - 6 = 0,360

Logo os ângulos serão

θ 1 = θ 2 = 21,1 ° = 0,368 R a d

Resposta

θ = 21,1 ° ≅ 0,368 R a d

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