Exercícios Resolvidos de Redes de Difração

PUC, Física 4, P2 2017.1, 2

Uma rede de difração de 346 ranhuras/mm é iluminada perpendicularmente por um feixe de luz que contém os comprimentos de onda 362 nm e 725 nm.

(a ) Encontre as menores ordens m para as quais há superposição das franjas brilhantes dos dois comprimentos de onda. Calcule o ângulo θ na qual se formam.

(b ) Calcule a maior ordem para a qual o maior comprimento de onda está presente.

Passo 1

No primeiro item temos que mostrar qual a menor ordem m para o qual a superposição das franjas brilhantes provenientes de dois comprimentos de ondas diferentes.

Antes de tudo devemos lembrar que a fórmula para máximos de interferência é dada por

d . S e n θ = m . λ

Como aqui temos dois raios diferentes, podemos definir uma fórmula de máximo de interferência para cada um deles, nesse caso teríamos o seguinte

d . S e n θ 1 = m 1 . λ 1

d . S e n θ 2 = m 2 . λ 2

Mas pensa nos seguinte, queremos que o máximo de interferência seja afetado tanto pela onda λ 1 quanto pela onda λ 2 , para que isso aconteça temos que garantir que θ 1 = θ 2 , ou ainda que S e n θ 1 = S e n θ 2 .

Se os senos são iguais, assim com o valor de d podemos afirmar então que

m 1 . λ 1 = m 2 . λ 2

E escrever essa equação da seguinte maneira

m 1 m 2 = λ 2 λ 1

Em que temos

λ 1 = 362 n m

λ 2 = 725 n m

Fazendo essa relação teremos

m 1 m 2 = 725 362 ≅ 2

Como queremos a ordem mínima teremos que no mínimo

m 1 = 2

E

m 2 = 1

Como também nos é pedido o ângulo, basta escolher uma das equações e isolar o valor do ângulo, vamos nesse caso pegar a primeira equação

d . S e n θ 1 = m 1 . λ 1

Antes de prosseguirmos precisamos saber o valor de d .

Sabemos que são 346 ranhuras em 1mm, ou seja, eu posso afirmar que a distancia entre cada ranhura é dada pela divisão desses 1mm para todas as 346 ranhuras, dessa forma teremos que

d = 1 m m 346 = 2,89.10 - 3 m m = 2,89.10 - 6 m

Substituindo esses valores na nossa equação teremos que

2,89.10 - 6 . S e n θ 1 = 2.362.10 - 9

S e n θ 1 = 0,2505

θ 1 = 14,5 °

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Aqui devemos tomar alguns cuidados, conceitualmente vamos tomar a seguinte atitude nesse item, vamos considerar válida a difração de Fraunhofer para grandes ângulos. Nesse caso isso é o mesmo que dizer que vamos considerar θ = 90 ° que é o máximo ângulo de difração que podemos estar considerando, substituindo isso na fórmula e lembrando que nos é pedido a maior ordem para que o MAIOR comprimento de onda estará presente. Olhando a nossa fórmula teremos

d . S e n θ 1 = m 1 . λ 1

Em que

d = 2,89.10 - 6 m

θ 1 = 90 °

λ 2 = 725.10 - 9 m

Substituindo, teremos

2,89.10 - 6 . S e n 90 ° = m 1 . 725.10 - 9

Fazendo isso calculamos que o valor de m 1 será

m 1 = 3,98

Como só podemos considerar m como um numero inteiro devemos escolher ou m=4 ou m=3.

Mas pensa no seguinte, se somente até m=3,98 temos presença do maior comprimento de onda, para m=4 ele não estará mais presente, então nesse caso escolhemos o valor de m=3.

m 1 = 3

Resposta

a) m 1 = 2

m 2 = 1 .

θ 1 = 14,5 ° .

b) m 1 = 3

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