Exercícios Resolvidos de Região Retangular e Teorema de Fubini

UNESA, Cálculo Diferencial e Integral II, Banco de Questões - Estácio - AV3, Questão 9

Calcule:

1 4 0 x 3 2 e y / x   d y d x

Passo 1

O melhor a fazer aqui é não pensar demais, pois essa é uma função difícil de imaginar. Vamos olhar para a primeira das duas integrais:

0 x 3 2 e y / x   d y

Estamos integrando em relação a y , então o x funciona como uma constante. Isso quer dizer que podemos usar a fórmula que conhecemos para integrar uma exponencial:

e a x   d x = 1 a e a x + C

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Se aplicarmos essa fórmula com a = 1 x (já que x é uma constante), e colocarmos os limites de intergação:

0 x 3 2 e y / x   d y = 1 1 x ( 2 e y / x ) x 3 0 = x ( 2 e y / x ) x 3 0

Cuidado, quem varia de 0 até x 3 é o y , pois é em relação a ele que estamos integrando!

0 x 3 2 e y / x   d y = x 2 e x 3 x - x 2 e 0 = 2 x e x 2 - 2 x

Passo 3

Ok, agora voltando à nossa integral dupla com esse novo resultado:

1 4 0 x 3 2 e y / x   d y d x = 1 4 2 x e x 2 - 2 x   d x

Vamos separar essa integral em duas:

1 4 0 x 3 2 e y / x   d y d x = 1 4 2 x e x 2 d x - 1 4 2 x   d x

A segunda integral é mais tranquila, vamos resolver ela de uma vez:

1 4 2 x   d x = x 2 4 1 = 4 2 - 1 = 15

Colocando isso de volta ali em cima:

1 4 0 x 3 2 e y / x   d y d x = 1 4 2 x e x 2 d x - 15

Passo 4

Essa primeira integral é um pouco mais complicada, mas é bem conhecida, talvez você já tenha visto ela por aí.

Precisamos fazer uma substituição:

u = x 2

d u = 2 x   d x                     d x = d u 2 x

E os limites de integração também vão mudar:

x = 1                 u = 1 2 = 1

x = 4                     u = 4 2 = 16

Então:

1 4 2 x e x 2 d x - 15 = 1 16 2 x e u d u 2 x - 15 = 1 16 e u d u - 15  

Beleza, agora é só dar o toque final:

1 16 e u d u - 15 = e u 16 1 = e 16 - e - 15

E esse é o resultado da nossa integral:

1 4 0 x 3 2 e y / x   d y d x = e 16 - e - 15 = e e 15 - 1 - 15

Resposta

O valor da integral é e e 15 - 1 - 15 .

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas