Exercícios Resolvidos de Região Retangular e Teorema de Fubini

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2004, pp. 164

Calcule

R   x sen y - y e x   d x   d y

onde R = - 1,1 × [ 0 , π / 2 ] .

Passo 1

A primeira coisa a entender direitinho é esse retângulo R , ele deu dois intervalos, o primeiro em x e o segundo em y , a ordem é sempre essa não esqueça disso.

x - 1,1

y 0 , π 2

Vamos separar a integral dupla em integrais iteradas:

0 π / 2   - 1 1 x sen y - y e x   d x   d y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, vamos calcular a integral de dentro em relação a x (lembre-se, tome y como constante!)

0 π / 2   - 1 1 x sen y - y e x   d x d y = 0 π / 2   x 2 2 sen y - y e x x = - 1 x = 1 d y =

= 0 π / 2   1 2 sen y - y e - 1 2 sen y - y e d y =

= 0 π / 2   - y e + y e   d y

Passo 3

Integraremos, então, em relação a y :

0 π / 2   - y e + y e   d y = - e y 2 2 + y 2 2 e y = 0 y = π 2 =

= 1 2 - e π 2 4 + π 2 4 e - 0 =

Resposta

π 2 8 - e + 1 e

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