Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis, Cálculo – Volume II, 8ª ed. Porto Alegre: ARTMED EDITORA S.A, 2005, pág 1035-59.
Se
representar a “densidade populacional” de certo tipo de bactéria no plano , onde e são medidos em centímetros, encontre a população total de bactérias dentro do retângulo e .
Passo 1
Vamos pensar: se é a densidade populacional em termos de área, representa quantas bactéricas existem por centímetro quadrado em cada ponto . Então, para encontrar a quantidade de bactérias existente em uma área, precisamos integrar a função densidade nessa região, certo? Isso porque densidade vezes área é igual à quantidade de bactérias.
Temos o seguinte:
Onde é o retângulo e .
Passo 2
Vamos desmembrar a integral utilizando o Teorema de Fubini.
Note que o intervalo da integral de fora está de acordo com e o da de dentro, com . E se você quisesse integrar ao contrário? Sem problemas, basta o intervalo estar de acordo.
Passo 3
Agora você deve integrar em relação a ou seja, resolver a integral de dentro (tomando como constante).
Como é constante, podemos tirar da integral, fica assim
Tirando tudo que é constante da integral
Passo 4
Devemos, então, integrar em relação a :
Agora, para essa integral que restou, temos que nos lembrar do seguinte:
Perceba que os limites da integral são . Ou seja, temos parte que e parte que , precisamos separar isso! Olha como fica
O sinal ficou trocado porque na primeira integral temos , enquanto na segunda temos
Passo 5
Vamos começar fazendo
Vamos resolver primeiro sem os limites pra organizar melhor
Aqui, vamos fazer a seguinte substituição
Assim
Assim, temos
Voltando para
Agora, olhando para os limites de integração
Passo 6
Agora, vamos ver a outra integral
Vamos resolver primeiro sem os limites pra organizar melhor
Aqui, vamos fazer a seguinte substituição
Assim
Assim, temos
Voltando para
Agora, olhando para os limites de integração
Passo 7
Voltando para a integral que tínhamos
Vamos colocar o resultado