Exercícios Resolvidos de Região Retangular e Teorema de Fubini

Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis, Cálculo – Volume II, 8ª ed. Porto Alegre: ARTMED EDITORA S.A, 2005, pág 1035-59.

Se

f x , y = 10.000 e y 1 + x 2

representar a “densidade populacional” de certo tipo de bactéria no plano x y , onde x e y são medidos em centímetros, encontre a população total de bactérias dentro do retângulo - 5 x 5 e - 2 y 0 .

Passo 1

Vamos pensar: se f ( x , y ) é a densidade populacional em termos de área, f representa quantas bactéricas existem por centímetro quadrado em cada ponto ( x , y ) . Então, para encontrar a quantidade de bactérias existente em uma área, precisamos integrar a função densidade nessa região, certo? Isso porque densidade vezes área é igual à quantidade de bactérias.

Temos o seguinte:

P = R   f ( x , y ) d A = R   10.000 e y 1 + x 2 d A

Onde R é o retângulo - 5 x 5 e - 2 y 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos desmembrar a integral utilizando o Teorema de Fubini.

R   10.000 e y 1 + x 2   d A = - 5 5 - 2 0 10.000 e y 1 + x 2 d y   d x

Note que o intervalo da integral de fora está de acordo com d x e o da de dentro, com d y . E se você quisesse integrar ao contrário? Sem problemas, basta o intervalo estar de acordo.

Passo 3

Agora você deve integrar em relação a y ,   ou seja, resolver a integral de dentro (tomando x como constante).

= - 5 5 - 2 0 10.000 e y 1 + x 2   d y d x =

Como x é constante, podemos tirar 10000 1 + x 2 da integral, fica assim

= - 5 5 10.000 1 + x 2 - 2 0 e y d y d x

= - 5 5 10.000 1 + x 2   e y y = - 2 y = 0 d x =

= - 5 5 10.000 1 + x 2 e 0 1 - e - 2 d x =

Tirando tudo que é constante da integral

= 10.000 1 - e - 2 - 5 5 1 1 + x 2 d x

Passo 4

Devemos, então, integrar em relação a x :

= 10.000 1 - e - 2 - 5 5 1 1 + x 2 d x =

Agora, para essa integral que restou, temos que nos lembrar do seguinte:

x = x ,         x 0 - x ,               x < 0

Perceba que os limites da integral são - 5 x 5 . Ou seja, temos parte que x 0 e parte que x < 0 , precisamos separar isso! Olha como fica

= 10.000 1 - e - 2 - 5 0 1 1 - x 2 d x + 0 5 1 1 + x 2 d x

O sinal ficou trocado porque na primeira integral temos x < 0 , enquanto na segunda temos x 0

Passo 5

Vamos começar fazendo

- 5 0 1 1 - x 2 d x

Vamos resolver primeiro sem os limites pra organizar melhor

1 1 - x 2 d x

Aqui, vamos fazer a seguinte substituição

1 - x 2 = u

Assim

- d x 2 = d u d x = - 2 d u

Assim, temos

1 1 - x 2 d x = 1 u - 2 d u = - 2 1 u d u = - 2 ln u

Voltando para x

- 2 ln u = - 2 ln 1 - x 2

Agora, olhando para os limites de integração

- 5 0 1 1 - x 2 d x = - 2 ln 1 - x 2 x = - 5 x = 0 = - 2 ln 1 0 + 2 ln 1 - - 5 2 = 0 + 2 ln 7 2

Passo 6

Agora, vamos ver a outra integral

0 5 1 1 + x 2 d x

Vamos resolver primeiro sem os limites pra organizar melhor

1 1 + x 2 d x

Aqui, vamos fazer a seguinte substituição

1 + x 2 = u

Assim

d x 2 = d u d x = 2 d u

Assim, temos

1 1 + x 2 d x = 1 u 2 d u = 2 1 u d u = 2 ln u

Voltando para x

2 ln u = 2 ln 1 + x 2

Agora, olhando para os limites de integração

0 5 1 1 + x 2 d x = 2 ln 1 + x 2 x = 0 x = 5 = 2 ln 1 + 5 2 - 2 ln 1 0 = 2 ln 7 2

Passo 7

Voltando para a integral que tínhamos

10.000 1 - e - 2 - 5 0 1 1 - x 2 d x + 0 5 1 1 + x 2 d x

Vamos colocar o resultado

10.000 1 - e - 2 - 5 0 1 1 - x 2 d x + 0 5 1 1 + x 2 d x = 10.000 1 - e - 2 2 ln 7 2 + 2 ln 7 2 =

40.000 1 - e - 2 ln 7 2

Resposta

40.000 1 - e - 2 ln 7 2

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas