Exercícios Resolvidos de Região Retangular e Teorema de Fubini

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Enunciado

Se

f x , y = 10.000 e y 1 + x 2

representa a “densidade populacional” de certo tipo de bactéria no plano x y , onde x e y são medidos em centímetros, encontre a população total de bactérias dentro do retângulo - 5 ≤ x ≤ 5 e - 2 ≤ y ≤ 0 .

Passo 1

Vamos pensar: se f ( x , y ) é a densidade populacional em termos de área, f representa quantas bactéricas existem por centímetro quadrado em cada ponto ( x , y ) . Então, para encontrar a quantidade de bactérias existente em uma área, precisamos integrar a função densidade nessa região, certo? Isso porque densidade vezes área é igual à quantidade de bactérias.

Temos o seguinte:

P = ∬ R   f ( x , y ) d A = ∬ R   10.000 e y 1 + x 2 d A

Onde R é o retângulo - 5 ≤ x ≤ 5 e - 2 ≤ y ≤ 0 .

Passo 2

Vamos desmembrar a integral utilizando o Teorema de Fubini.

∬ R   10.000 e y 1 + x 2   d A = ∫ - 5 5 ∫ - 2 0 10.000 e y 1 + x 2 d y   d x

Note que o intervalo da integral de fora está de acordo com d x e o da de dentro, com d y . E se você quisesse integrar ao contrário? Sem problemas, basta o intervalo estar de acordo.

Passo 3

Agora você deve integrar em relação a y ,   ou seja, resolver a integral de dentro (tomando x como constante).

= ∫ - 5 5 ∫ - 2 0 10.000 e y 1 + x 2   d y d x

Como x é constante, podemos tirar 10000 1 + x 2 da integral de dentro, ficando assim

= ∫ - 5 5 10.000 1 + x 2 ∫ - 2 0 e y d y d x

= ∫ - 5 5 10.000 1 + x 2 e y y = - 2 y = 0 d x

Substituindo os limites de integração de y ,

= ∫ - 5 5 10.000 1 + x 2 e 0 ⏟ 1 - e - 2 d x

∫ - 5 5 10.000 1 + x 2 ( 1 - e - 2 ) d x

Resolvida a integral de dentro, seguimos para a segunda integral!

Passo 4

Resolvida a integral de dentro, seguimos para a segunda integral!

Devemos, então, integrar em relação a x :

∫ - 5 5 10.000 1 + x 2 ( 1 - e - 2 ) d x

Tirando as constantes da integral

= 10.000 1 - e - 2 ∫ - 5 5 1 1 + x 2 d x =

Agora, para essa integral que restou, temos que nos lembrar do seguinte:

x = x ,         x ≥ 0 - x ,               x < 0

Perceba que os limites da integral são - 5 ≤ x ≤ 5 . Ou seja, temos parte que x ≥ 0 e parte que x < 0 , precisamos separar isso! Olha como fica

= 10.000 1 - e - 2 ∫ - 5 0 1 1 - x 2 d x + ∫ 0 5 1 1 + x 2 d x

O sinal ficou trocado porque na primeira integral temos x < 0 , enquanto na segunda temos x ≥ 0 .

Agora temos duas integrais em função de   x para resolver.

Passo 5

Vamos começar fazendo

∫ - 5 0 1 1 - x 2 d x

Vamos resolver primeiro sem os limites pra organizar melhor

∫ 1 1 - x 2 d x

Para resolver essa integral, vamos utilizar a técnica de substituição simples.

Aqui, vamos fazer a seguinte substituição,

1 - x 2 = u

Derivando u , fica assim

- d x 2 = d u → d x = - 2 d u

Assim, temos

∫ 1 1 - x 2 d x = ∫ 1 u - 2 d u = - 2 ∫ 1 u d u = - 2 ln ⁡ u

Lembrando que u = 1 - x 2 , temos

- 2 ln ⁡ 1 - x 2

Agora, olhando para os limites de integração,

∫ - 5 0 1 1 - x 2 d x = - 2 ln ⁡ 1 - x 2 x = - 5 x = 0 = - 2 ln ⁡ 1 ⏟ 0 + 2 ln ⁡ 1 - - 5 2 = 0 + 2 ln ⁡ 7 2

Passo 6

Agora, vamos ver a outra integral

∫ 0 5 1 1 + x 2 d x

Vamos resolver primeiro sem os limites pra organizar melhor

∫ 1 1 + x 2 d x

Novamente, vamos utilizar a mesma técnica de integração, substituindo assim,

1 + x 2 = u

Assim

d x 2 = d u → d x = 2 d u

Assim, temos

∫ 1 1 + x 2 d x = ∫ 1 u 2 d u = 2 ∫ 1 u d u = 2 ln ⁡ u

Voltando para x

2 ln ⁡ u = 2 ln ⁡ 1 + x 2

Agora, olhando para os limites de integração

∫ 0 5 1 1 + x 2 d x = 2 ln ⁡ 1 + x 2 x = 0 x = 5 = 2 ln ⁡ 1 + 5 2 - 2 ln ⁡ 1 ⏟ 0 = 2 ln ⁡ 7 2

Passo 7

Voltando para a integral que tínhamos no final do Passo 4,

= 10.000 1 - e - 2 ∫ - 5 0 1 1 - x 2 d x + ∫ 0 5 1 1 + x 2 d x

Vamos colocar o resultado

10.000 1 - e - 2 ∫ - 5 0 1 1 - x 2 d x + ∫ 0 5 1 1 + x 2 d x = 10.000 1 - e - 2 2 ln ⁡ 7 2 + 2 ln ⁡ 7 2 =

40.000 1 - e - 2 ln ⁡ 7 2

Resposta

∫ - 5 5 ∫ - 2 0 10.000 e y 1 + x 2 d y   d x = 40.000 1 - e - 2 ln ⁡ 7 2

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