Exercícios Resolvidos de Reta Normal

Passo 1

Para acharmos o plano tangente e a reta normal a primeira coisa que fazemos é substituir f x , y = z e jogar tudo pra um lado só e chamar de F ( x , y , z ) :

f x , y = z = arctan ⁡ ( x - 2 y )

F x , y , z = arctan ⁡ ( x - 2 y ) - z

Agora devemos achar o gradiente dessa função

∇ F = 1 1 + x - 2 y 2 ∙ 1 ,   1 1 + x - 2 y 2 ∙ - 2 ,   - 1

∇ F = 1 1 + x - 2 y 2 ,   - 2 1 + x - 2 y 2 ,   - 1

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Passo 2

Agora devemos achar agora o gradiente no ponto, mas pra isso, precisamos achar o ponto:

P o = 2,1 , f 2,1

f 2,1 = arctan ⁡ ( 2 - 2 . 1 ) = arctan ⁡ ( 0 ) = 0

Então, nosso ponto é:

P o = 2,1 , 0

E assim, o gradiente fica:

∇ F 2,1 , 0 = 1 1 + 2 - 2 . 1 2 ,   - 2 1 + 2 - 2 . 1 2 ,   - 1

∇ F 2,1 , 0 = 1 ,   - 2 ,   - 1

O vetor normal vai ser

n → = 1 ,   - 2 ,   - 1

Passo 3

O plano tangente vai ser

x , y , z ∙ n → = n → ∙ P 0

x , y , z ∙ 1 ,   - 2 ,   - 1 = 1 ,   - 2 ,   - 1 ∙ 2,1 , 0  

x - 2 y - z = 2 - 2 - 0 = 0

z = x - 2 y

Passo 4

A reta normal vai ser

σ t = P 0 + t n →

σ t = 2,1 , 0 + t 1 ,   - 2 ,   - 1

σ t = 2 + t ,   1 - 2 t ,   - t     ,     t ∈ R

Resposta

Plano tangente

z = x - 2 y

Reta normal

σ t = 2 + t ,   1 - 2 t ,   - t     ,     t ∈ R

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