Exercícios Resolvidos de Reta Normal

3. Determine a equação do plano tangente e da reta normal à superfície x 2 + x y 2 + y 3 + z + 1 = 0 , contendo o ponto P = 2 , - 3,4 .

Passo 1

Primeiro, vamos calcular o gradiente no ponto P = 2 , - 3,4 . Temos:

∇ f P = 2 x + y 2 ,   2 x y + 3 y 2 ,   1

∇ f 2 , - 3,4 = 2 2 + - 3 2 ,   2 2 - 3 + 3 - 3 2 ,   1 = 13 ,   15,1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Já temos n → = ∇ f 2 , - 3,4 = 13 ,   15,1 , então para calcular a reta normal, basta substituir na fórmula. Fica:

r t = P + n → λ

r t = ( 2 , - 3   , 4 ) + 13 ,   15 ,   1 λ ,   λ   ∈ R

Então:

r t = 2 + 1 3 λ , - 3 + 15 λ ,   4 + λ ,   λ   ∈ R  

Passo 3

Já temos n → = ∇ f 2 , - 3,4 = 13 ,   15,1 , então para calcular a equação do plano tangente, basta substituir na fórmula. Fica:

n → x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 = 0

13 ,   15,1 x - 2 ,   y - - 3 ,   z - 4 = 0

Fica:

1 3 x + 15 y + z - 26 + 45 - 4 = 0

13 x + 15 y + z = - 15

Resposta

Reta normal:

x , y , z = 2 + 13 λ ,   - 3 + 15 λ , 4 + λ ,   λ ∈ R  

Plano tangente:

13 x + 15 y + z = - 15

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