Exercícios Resolvidos de Reta Normal

Considere

f x , y , z = ln ⁡ x 2 + y 2 + z + 1

Sabendo que x 2 + y 2 + z + 1 > 0 .

  1. Esboce a superfície S de nível 0 , ou seja
  2. S = x , y , z ∈ R 3 ; f x , y , z = 0

    No esboço de S , desenhe a curva C = S ∩ { z = - 1 } e parametrize C .

  3. Seja S a superfície do item ( a ) . Encontre a equação cartesiana do plano tangente à superfície S no ponto ( 1,1 , - 2 ) , explicitando o vetor normal neste ponto.
  4. Encontre uma equação paramétrica da reta normal a superfície S no ponto ( 1,1 , - 2 ) .

Passo 1

a )

Para encontrar a superfície de nível basta igualar a função a uma constante, que no nosso caso, a questão já diz que é o zero:

f x , y , z = 0

⇒ ln ⁡ x 2 + y 2 + z + 1 = 0

Tirando a exponencial nos dois lados:

x 2 + y 2 + z + 1 = e 0

x 2 + y 2 + z = 1 - 1

x 2 + y 2 + z = 0

z = - x 2 - y 2

Opa, isso é um paraboloide elíptico, pois do lado esquerdo da equação tem uma variável “isolada” de grau 1 e do lado direito tem variáveis de grau 2 com sinais iguais.

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Passo 2

Vamos fazer os traços:

Traços:

  • Traço no plano x y   z = 0 :
  • 0 = - ( x 2 + y 2 )

    Temos o ponto ( 0,0 , 0 )

  • Traço no plano x z   ( y = 0 ) :
  • z = - x 2

    Temos uma parábola. O traço fica:

  • Traço no plano y z   ( x = 0 ) :
  • z = - y 2

    Temos uma parábola. O traço fica:

    Passo 4

    Vamos fazer agora interseções com planos paralelos aos eixos coordenados.

    Interseções:

  • Plano z = k
  • k = - ( x 2 + y 2 )

    Se k = 0 temos o ponto 0,0 , 0

    Se k ≠ 0 temos:

    1 = - x 2 + y 2 k

    Se k > 0 a equação acima é impossível. Logo não há interseção.

    Se k < 0 então a equação acima é uma elipse.

  • Plano y = k
  • z = - ( x 2 + k 2 )

    São Parábolas para k ∈ R  

  • Plano x = k

z = - ( k 2 + y 2 )

São Parábolas para k ∈ R  

Passo 3

Plote os traços que encontramos. Como as interseções da superficie com eixos paralelos ao eixo z são elipses, para k < 0 , desenhe uma elipse na parte mais negativa do eixo z para demonstrar isso. O esboço fica:

Passo 4

Aí agora pra achar a curva   C = S ∩ { z = - 1 } , é só marcar o plano z = - 1 e a curva de interseção será

1 = - x 2 + y 2 k

Como já achamos no passo 4, quando fizemos z = k .

Substituindo z = k = - 1 , temos

1 = - x 2 + y 2 - 1

x 2 + y 2 = 1

Que nada mais é que uma circunferência de raio 1 e centrada no ponto x 0 , y 0 = ( 0,0 )

A parametrização da circunferência é:

x t = x 0 + r cos ⁡ t → x t = cos ⁡ t

y t = y 0 + r sen ⁡ t → y t = sen ⁡ t

Com t ∈ [ 0,2 π ] .

Passo 5

b )

Para encontrar a expressão do plano tangente à superfície S no ponto ( 1,1 , - 2 ) , vamos seguir o passo a passo de plano tangente.

A primeira coisa e pegar a equação de S , jogar tudo pro lado esquerdo e chamar de F ( x , y , z ) :

F ( x , y , z ) = z + x 2 + y 2 = 0

Agora vamos calcular o gradiente de F :

∇ F = ( f x , f y , f z )

∇ F = ( 2 x , 2 y , 1 )

Substituindo no ponto P 0 = ( 1,1 , - 2 ) :

∇ F 1,1 , - 2 = 2 . 1 , 2 . 1 , 1 = ( 2,2 , 1 )

E esse é o vetor normal ao plano.

Agora vamos substituir P 0 = ( 1,1 , - 2 ) e o vetor normal ∇ F 1,1 , - 2 = ( 2,2 , 1 ) na equação do plano tangente.

x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ⋅ n → = 0

x - 1 , y - 1 , z + 2 ⋅ ( 2,2 , 1 ) = 0

2 x - 1 + 2 y - 1 + 1 z + 2 = 0

2 x + 2 y + z = 2

Passo 6

c )

Agora, para encontrar a reta normal a superfície S no ponto ( 1,1 , - 2 ) , também temos um passo a passo.

Acontece que o passo a passo é todo igual a esse que acabamos de fazer para o plano tangente (grazadeus, menos trabalho).

Mas agora, se pro plano tangente o vetor gradiente de F é um vetor normal, pra reta normal, ele vai ser o vetor que está na direção da reta normal.

Assim, substituindo o ponto P 0 = ( 1,1 , - 2 ) e o vetor diretor ∇ F 1,1 , - 2 = ( 2,2 , 1 ) na equação da reta normal, temos

r t = P 0 + n → t

r t = ( 1,1 , - 2 ) + ( 2,2 , 1 ) t

r t = 1 + 2 t ,   1 + 2 t ,   - 2 + t

Com t ∈ R .

Resposta

  1. A superfície S é:
  2. A curva C é:

    x t = cos ⁡ t

    y t = sen ⁡ t

    Com t ∈ [ 0,2 π ] .

  3. 2 x + 2 y + z = 2
  4. r t = 1 + 2 t ,   1 + 2 t ,   - 2 + t   , t ∈ R .

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