Exercícios Resolvidos de Reta Normal

Plano Tangente e Reta Normal

A reta normal à superfície x y z = 4 no ponto P = ( 2,2 , 1 ) intercepta o plano x = 0 no ponto :

(a) ( 0,2 , 1 )

(b) ( 0,1 , - 1 )

(c) ( 0,0 , 0 )

(d) ( 0 , - 1,0 )

(e) ( 0,0 , - 3 )

Passo 1

A reta normal à superfície no ponto P é aquela que tem como vetor diretor o vetor n → normal à superfície em P , beleza? Sua equação é

r t = P + n → t ,     t ∈ R

Então vamos achar esse vetor normal, que como você já pode desconfiar, é um vetor gradiente!

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Passo 2

Vamos pegar a equação da superfície, jogar tudo pro lado esquerdo, deixando zero na direita:

x y z = 4

⇒     x y z - 4 = 0

Show! Agora vamos chamar o lado esquerdo de f ( x , y , z ) :

f x , y , z = x y z - 4

Vamos achar o gradiente da f :

∂ f ∂ x x , y , z = y z

∂ f ∂ y x , y , z = x z

∂ f ∂ z x , y , z = x y

⇒   ∇ f x , y , z = ( y z , x z , x y )

E no ponto P = ( 2,21 ) , que é o ponto de interesse:

∇ f P = ( 2,2 , 4 )

Passo 3

E ∇ f P nada mais é que o vetor normal que a gente queria! Então a equação da reta normal à superfície no ponto P é:

r t = P + ∇ f P t

⇒ r t = 2,2 , 1 + 2,2 , 4 t

⇒ r t = ( 2 + 2 t , 2 + 2 t , 1 + 4 t )

Passo 4

Ele quer saber em que ponto essa reta intercepta o plano x = 0 .

De boa, temos

x = 0   ⇒     2 + 2 t = 0

⇒ 2 t = - 2

⇒ t = - 1

Uhul, estamos quase acabando! Substituindo t = - 1 na equação da reta:

r - 1 = 0 ,   0 ,   1 - 4 = ( 0,0 , - 3 )

Resposta

Alternativa (e)

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