Exercícios Resolvidos de Reta Normal

Considere a curva espacial parametrizada por

γ t : R → R 3   ,   γ t = ( 2 cos ⁡ t , - 3 sen ⁡ t ,   e t 3 + t + 1 )

Seja C = traço de γ .

  1. Obtenha f   : R 3 → R e c ∈ R tal que C ⊂ S c = x , y , z ∈ R 3   f x , y , z = c }  
  2. Seja g ( x , y , z ) uma outra função real de 3 variáveis, satisfazendo:
    1. ∂ g ∂ x 2,0 , 2 = a
    2. ∂ g ∂ y 2,0 , 2 = b
    3. ∂ g ∂ z 2,0 , 2 = d
  3. Onde a , b , d ∈ R .

    Seja a composta h t = g ∘ γ t = g γ t , t ∈ R .

    Escreva a derivada h ' ( 0 ) em termo de a , b , d .

  4. Seja g ( x , y , z ) a função dada no item b . Considere também a função h ( t ) definida no item b . Note que h   : R → R é uma função real de uma variável real.

Assuma no presente item que g 2,0 , 2 = 5 . Exiba a equação paramétrica da reta s normal ao gráfico de h em t = 0 (no ponto 0 , h 0 , em termos de a , b , d .

Passo 1

a )

Embora pareça confuso pelo enunciado, a ideia nesse item é que a gente descreva a equação cartesiana da curva γ ( t ) , ou seja, que a gente descubra de qual função f a curva γ é curva de nível c e o valor de c .

De acordo com a parametrização, temos

x t = 2 cos ⁡ t

y t = - 3 sen ⁡ t

Vamos tirar uma relação dessas coisas...

Temos seno e cosseno. O que a gente faz na maior parte das vezes que temos essas duas funções trigonométricas?

Tentamos usar a relação fundamental da trigonometria:

cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = 1

Mas pra isso, a gente vai precisar isolar o seno e cosseno na nossa parametrização. Assim

cos ⁡ t = x t 2

sen ⁡ t = - y t 3

Agora sim, substituindo na relação fundamental da trigonometria:

x t 2 2 + - y t 3 2 = 1

Isso significa que a parametrização da nossa curva atende a equação

x t 2 4 + y t 2 9 = 1

Mas muita calma nessa hora! Essa equação representa o que?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Eu sei que a mão coça pra dizer que isso é uma elipse, porque afinal de contas só estamos vendo duas variáveis aí.

Mas, não podemos esquecer que nossa curva tem uma terceira componente, a componente z ( t ) , o que significa que ela é uma curva que tá no espaço.

Se ela tá no espaço, então ela tem que atender a equação de uma superfície. E a equação

x t 2 4 + y t 2 9 = 1

No espaço representa que o z ( t ) pode valer qualquer coisa, logo, nossa curva γ ( t ) está sobre um cilindro!

Assim, nossa

f x , y , z = c

Corresponde a

x t 2 4 + y t 2 9 = 1

Portanto, temos

f x , y , z = x t 2 4 + y t 2 9

E

c = 1

O que significa que a curva γ ( t ) é curva de nível 1 da função f x , y , z = x t 2 4 + y t 2 9 .

Passo 3

b )

Aqui na letra b a gente precisa calcular a derivada da função composta h t = g γ t .

Para isso, como você já deve estar careca de saber, vamos usar a regra da cadeia:

d h d t = ∇ g ⋅ γ ' t

O gradiente de g nós já temos, a questão nos deu, já que ela não deu a expressão de g pra gente poder calcular, assim:

∇ g ( 2,0 , 2 ) = ( a , b , d )

Passo 4

Mas, γ ' ( t ) a gente vai ter que calcular:

γ t = ( 2 cos ⁡ t , - 3 sen ⁡ t ,   e t 3 + t + 1 )

γ ' t = ( - 2 sen ⁡ t , - 3 cos ⁡ t ,   3 t 2 e t 3 + 1 )

Substituindo no ponto ( 2,0 , 2 ) , já que a questão nos deu o gradiente de g nesse ponto, então precisamos calcular γ ' nesse ponto também, pra ficar coerente.

Mas γ ' é função de t , então precisamos achar qual o t correspondente ao ponto ( 2,0 , 2 ) :

γ t 0 = 2 cos ⁡ t 0 , - 3 sen ⁡ t 0 ,   e t 0 3 + t 0 + 1 = ( 20,2 )

Igualando as coordenadas:

2 cos ⁡ t 0 = 2

- 3 sen ⁡ t 0 = 0

e t 0 3 + t 0 + 1 = 2

Resolvendo esse sistema, achamos que

t 0 = 0

Agora sim, substituinto t 0 = 0 em γ ' , temos

γ ' 0 = ( - 2 sen ⁡ 0 , - 3 cos ⁡ 0 ,   3 . 0 2 e 0 3 + 1 )

γ ' 0 = ( 0 , - 3 ,   1 )

Passo 5

Substituindo tudo na fórmula da regra da cadeia:

d h d t = ∇ g ⋅ γ ' t

d h d t ( 0 ) = ( a , b , d ) ⋅ 0 , - 3 ,   1

d h d t 0 = - 3 b + d

Passo 6

c )

E, pra fechar a questão, precisamos encontrar a equação paramétrica da reta normal a h ( t ) no ponto 0 , h 0 .

Para isso, vamos definir a superfície que é gráfico da função h t = g γ t :

h t = z

F = h t - z

O vetor normal a essa superfície, gráfico de h ( t ) , e consequentemente na mesma direção da reta normal é o vetor gradiente de F :

∇ F = ( h ' t , - 1 )

No ponto correspondente a t = 0 , temos

∇ F = ( h ' 0 , - 1 )

Mas o h ' ( 0 ) a gente já calculou na letra b , assim:

∇ F = ( - 3 b + d , - 1 )

Passo 7

Agora, pra gente poder substituir tudo na equação da reta normal, só falta a gente descobrir quem é o ponto 0 , h 0 .

Lembrando que

h t = g γ t

Temos que

h 0 = g γ 0

Mas, a gente já viu no passo 4 que quando t = 0 , nossa curva vale

γ t 0 = 0 = 2 cos ⁡ 0 , - 3 sen ⁡ 0 ,   e 0 3 + 0 + 1 = ( 20,2 )

Assim, h 0 = g 2,0 , 2

E isso a questão disse pra gente assumir como sendo igual a 5 .

Portanto, nosso ponto P 0 da reta será o ponto

0 , h 0 = ( 0,5 )

Passo 8

Agora sim, substituindo tudo na equação paramétrica da reta:

s t = 0,5 + ( - 3 b + d , - 1 ) t

Resposta

a )

A curva γ ( t ) é curva de nível 1 da função f x , y , z = x t 2 4 + y t 2 9 .

b )

d h d t 0 = - 3 b + d

c )

s t = 0,5 + ( - 3 b + d , - 1 ) t

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