Exercícios Resolvidos de Reta Normal

Plano tangente e reta normal

Considere a função

f x , y , z = x 2 + 9 y 2 + z 2

  1. Esboce a superfície de nível S que passa pelo ponto P = 3 , - 1 , - 3 .
  2. Determine o ponto de interseção da reta normal a S que passa pelo ponto P , com o plano z = 0 .
  3. Encontre os pontos da superfície S nos quais o plano tangente a S é paralelo ao plano 2 x + 6 y + 2 z = 1 .

Passo 1

a)

Para achar a curva de nível devemos achar primeiro k onde

f P = k

f P = 3 2 + 9 - 1 2 + - 3 2

f P = 9 + 9 + 9 = 27 = k

Então a curva de nível vai ser

x 2 + 9 y 2 + z 2 = 27

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Já vimos que uma curva desse tipo é um elipsoide. O seu gráfico fica

Passo 3

Para achar a reta normal devemos achar o vetor normal n → . Começamos achando o gradiente de f x , y , z

∇ f x , y , z = 2 x , 18 y , 2 z

O vetor normal vai ser

n → = ∇ f P

n → = 2 ⋅ 3 , 18 ⋅ - 1 , 2 ⋅ - 3

n → = 6 , - 18 , - 6

Passo 4

A reta normal vai ser

r t = P + t n →

r t = 3 , - 1 , - 3 + t 6 , - 18 , - 6

r t = 3 + 6 t , - 1 - 18 t , - 3 - 6 t

Passo 5

Quando a reta passar no plano z = 0 , vamos ter z = 0 . Conseguimos achar o valor de t para isso

- 3 - 6 t = 0

- 6 t = 3

t = - 1 2

Passo 6

O ponto vai ser

A = r - 1 2 = 3 + 6 - 1 2 , - 1 - 18 - 1 2 , 0

A = 3 - 3 , - 1 + 9,0

A = 0,8 , 0

Passo 7

c)

O vetor normal a superfície S também vai ser normal ao plano. Vamos então fazer

g x , y , z = 2 x + 6 y + 2 z - 1

O vetor normal ao plano vai ser

n → p l a n o = ∇ g

n → p l a n o = 2,6 , 2

Passo 8

Temos

n → = k   n → p l a n o

Os vetores normais são proporcionais

2 x , 18 y , 2 z = k 2,6 , 2

E vamos encontrar

2 x = 2 k

x = k

18 y = 6 k

y = 6 k 18 = k 3

2 z = 2 k

z = k

O ponto vai ser

A = k , k 3 , k

Passo 9

Precisamos achar esse k , vamos substituir esse ponto na equação da superfície

x 2 + 9 y 2 + z 2 = 27

k 2 + 9 k 3 2 + k 2 = 27

k 2 + k 2 + k 2 = 27

3 k 2 = 27

k 2 = 9

k = ± 3

Então os pontos vao ser

B 1 = 3,1 , 3

B 2 = - 3 , - 1 , - 3

Resposta

  1. x 2 + 9 y 2 + z 2 = 27
  2. A = 0,8 , 0
  3. B 1 = 3,1 , 3

B 2 = - 3 , - 1 , - 3

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