Exercícios Resolvidos de Reta Normal

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Enunciado

(Capítulo 14.6 – Exercício 42) Encontre uma equação (a) do plano tangente e (b) da reta normal à superfície dada no ponto especificado.

y = x 2 - z ²

( 4,7 , 3 )

Passo 1

Faaaala meus queridos, vamos lá?

Queremos a equação do plano tangente e da reta normal à função

f x , y , z = x 2 - z 2 - y

No ponto ( 4,7 , 3 )

Primeiramente encontramos as derivadas parciais das coordenadas. Com isso, podemos através das equações abaixo, encontrar a equação do plano tangente e da reta normal:

F x x o , y o , z o x - x o + F y x o , y o , z o y - y o + F z x o , y o , z o z - z o = 0

x - x o F x x o , y o , z o = y - y o F y x o , y o , z o = z - z o F z x o , y o , z o

Então boraaa

Passo 2

As derivadas parciais são:

f x = 2 x

f y = - 1

f z = - 2 z

Aplicando no ponto ( 4,7 , 3 ) :

f x 4,7 , 3 = 8

f y 4,7 , 3 = - 1

f z 4,7 , 3 = - 6

Showww, então vamos lá!

Passo 3

a) Pela primeira fórmula apresentada, podemos encontrar a equação do plano tangente:

8 x - 4 - 1 y - 7 - 6 z - 3 = 0

8 x - 32 - y + 7 - 6 z + 18 = 0

Então:

8 x - y - 6 z = 7

Passo 4

b) Pela segunda fórmula apresentada, podemos encontrar a equação da reta normal:

x - 4 8 =   y - 7 - 1 =   z - 3 - 6

E fimmm

Resposta

8 x - y - 6 z = 7

x - 4 8 =   y - 7 - 1 =   - z - 3 6

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