Exercícios Resolvidos de Reta Normal

Considere a superfície

x + y + z = e x y z

E o ponto ( 0,0 , 1 ) :

  1. Encontre uma equação do plano tangente à superfície no ponto dado
  2. Encontre uma equação da reta normal à superfície no ponto dado.

Passo 1

a )

Na letra a , vamos usar o passo a passo de plano tangente.

Primeiro a gente tem que jogar tudo pra um lado só na equação da superfície e chamar de F ( x , y , z ) :

F x , y , z = x + y + z - e x y z

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora precisamos do gradiente disso aê:

∇ F x , y , z = 1 - y z e x y z , 1 - x z e x y z , 1 - x y e x y z

Substituindo no ponto de tangencia:

∇ F 0,0 , 1 = 1 - 0.1 e 0.0 . 1 , 1 - 0.1 e 0.0 . 1 , 1 - 0.0 e 0.0 . 1

∇ F 0,0 , 1 = ( 1,1 , 1 )

E esse é o vetor normal ao plano tangente que estamos procurando.

Passo 3

Agora é só substituir na equação do plano:

x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ⋅ n → = 0

x - 0 , y - 0 , z - 1 ⋅ ( 1,1 , 1 ) = 0

x + y + z = 1

Tá ai nosso plano tangente

Passo 4

b )

Agora vamos pra reta normal a esse superfície.

Para isso, também temos um passo a passo, que é beeem parecido com o passo a passo de reta tangente, olha só:

  1. Caso seja necessário, substituir f ( x , y ) por z na equação da superfície
  2. Jogar todas as variáveis para o lado esquerdo da equação
  3. Chamar de F x , y , z a expressão deixada no lado esquerdo da equação
  4. Calcular gradiente de F : ∇ F x , y , z
  5. Calcular gradiente de F no ponto P 0 : ∇ F P 0 = ∇ F x 0 , y 0 , z 0
  6. O vetor diretor da reta normal será n → = ∇ F P 0
  7. Substituir o ponto P 0 e o vetor n → na equação da reta: r t = P 0 + n → t

Assim, já fizemos os itens 1-6. Só falta mesmo substituir tudo na equação da reta normal.

Passo 5

Vamos lá então, nossa reta normal será

r t = P 0 + n → t

r t = 0,0 , 1 + ( 1,1 , 1 ) t

r t = t , t , 1 + t   ,   t ∈ R

Resposta

a )   x + y + z = 1

b )   r t = t , t , 1 + t   ,   t ∈ R  

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas