Exercícios Resolvidos de Reta Normal

UNICAMP, Cálculo 2, P1, 2015.2, questão 4

Suponha que uma partícula é ejetada da superfície

x 2 + y 2 - z 2 = - 1

A partir do ponto 1,1 , 3 ao longo da direção normal à superfície. Calcule o ponto em que a partícula cruza o plano x y .

Passo 1

Se a partícula é ejetada na direção normal a superfície, significa que ela sai na direção da reta normal a essa superfície, no ponto 1,1 , 3 .

Vamos encontrar essa reta normal.

Para isso, começamos calculando o vetor diretor dessa reta: o vetor normal a superfície.

Temos

x 2 + y 2 - z 2 = - 1

F x , y , z = x 2 + y 2 - z 2 + 1

Então

∇ F x , y , z = 2 x ,   2 y ,   - 2 z

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Passo 2

No ponto 1,1 , 3 temos

∇ F 1,1 , 3 = 2 . 1 ,   2 . 1 ,   - 2 3

∇ F 1,1 , 3 = 2 ,   2 ,   - 2 3

Esse é o nosso vetor n → .

Passo 3

Agora só falta substituir na equação da reta:

r t = P 0 + n → t

⇒ r t = 1,1 , 3 + 2 ,   2 ,   - 2 3 t

⇒ r t = 1 + 2 t , 1 + 2 t ,   3 - 2 3 t

t ∈ R

Passo 4

Por fim, para descobrir o ponto onde a partícula cruza o eixo x y , basta fazer z = 0 na equação da reta. Assim

3 - 2 3 t = 0

t = 1 2

Dessa forma, o ponto onde a partícula cruza o eixo x y é

r 1 2 = 1 + 2 . 1 2 , 1 + 2 . 1 2 ,   3 - 2 3 . 1 2 = 2,2 , 0

Resposta

P = 2,2 , 0

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