Exercícios Resolvidos de Reta Normal

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Enunciado

2 - Considere a superfície x z - y z 3 + y z 2 = 2 .

b) Determine as equações paramétricas da reta que é normal à superfície no ponto 2 , - 1,1 .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Essa questão é muito comum em provas e listas de cálculo, então é fundamental compreender bem os conceitos que estão relacionados ao assunto.

O objetivo da questão é calcular as equações paramétricas da reta normal à superfície no ponto P = 2 , - 1,1 .

Perai! o que?? Equação paramétrica?? Reta normal?? Como podemos calcular tudo isso? 🤔🤔

Relaxa! É mais tranquilo do que parece.

Você consegue imaginar a superfície gerada pela equação que vamos chamar de f x , y , x = x z - y z 3 + y z 2 = 2 ? A não ser que você seja a reencarnação do Albert Einstein misturado com Nikola Tesla, imagino que não.

Essa superfície não é tão comum, mas independente dela, lembra que o vetor gradiente de f será normal a ela? Então, a primeira coisa que precisamos fazer é determinar o vetor gradiente de f .

Ok, mas e essa equação paramétrica?

Essa equação é dada pela equação de uma reta, dada por

r t = P + n → t

Por fim, percebeu esse n → ? então, esse vai ser nosso vetor normal. Ele será encontrado quando substituirmos P no gradiente de f .

Está entendendo? Vamos para os cálculos então! 🐱‍👤

Passo 2

A função é f x , y , z = x z - y z 3 + y z 2 - 2 e o ponto em que queremos a reta normal, passa por P = 2 , - 1,1 .

Primeiro calculamos o vetor gradiente, dado por ∇ f x , y , z . Aqui derivamos a função com relação a x , y e z , uma de cada vez. Podemos escrever também, como

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

Calculando as derivadas parciais que compõem o vetor gradiente de f , temos

∂ f ∂ x = z

∂ f ∂ y = - z 3 + z 2

∂ f ∂ z = x - 3 y z 2 + 2 y z

Nosso vetor gradiente da função f será então

∇ f x , y , z = z , - z 3 + z 2 , x - 3 y z 2 + 2 y z

O próximo passo é substituir as variáveis x , y , z desse nosso vetor gradiente pelos valores de P . Por exemplo, x substituímos pelo seu valor em P , que é 2 , y por - 1 e z por 1 , dessa forma encontrando nosso vetor normal.

∇ f P = 1 , - 1 3 + 1 2 , 2 - 3 - 1 1 2 + 2 - 1 1

∇ f P = 1,0 , 3 ou n → = 1,0 , 3

Ta acompanhando? 👀

Passo 3

Por fim, a gente substitui na fórmula que vimos no início.

r t = P + n → t

Substituindo P e n →   pelas suas coordenadas, temos

r t = 2 , - 1,1 + 1,0 , 3 t

Assim formando um vetor de retas

r t = 2 + t , - 1 + 0 t , 1 + 3 t

x é dado pelo primeiro componente, y pelo segundo componente e z pelo terceiro.

Assim temos três retas normais à superfície no ponto P , dadas por

x = 2 + t y = - 1 + 0 t z = 1 + 3 t

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

x = 2 + t y = - 1 + 0 t z = 1 + 3 t

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Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no ponto dado. f x , y = 3 x 3 y - x ye m1 , - 1 , f 1 , - 1