Exercícios Resolvidos de Reta Normal

Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Plano Tangente e Reta Normal

A reta r é normal ao cone de equação 2 x - 1 2 + y 2 = z 2 num ponto P e é, também, normal ao elipsoide de equação x - 3 2 + y 2 + z + 3 2 2 = 3 2 no ponto Q = 4,0 , - 4 .

a) Determine uma equação da reta r .

b) Determine as coordenadas do ponto P .

Passo 1

Se a reta r t é normal ao elipsoide, então ela tem vetor diretor múltiplo do vetor gradiente dele! Então, o primeiro passo é derivar a equação do elipsoide e ver que gradiente é esse:

E x , y , z = x - 3 2 + y 2 + z + 3 2 2 - 3 2

∇ E x , y , z = E x , E y ,   E z

E x = 2 x - 3 . 1

E y = 2 y

E z = z + 3 . 1

∇ E x , y , z = 2 x - 3 ,   2 y ,   z + 3

E, agora, só precisamos colocar o ponto no qual a reta passa, 4,0 , - 4 :

∇ E 4,0 , - 4 = 2 4 - 3 ,   2.0 ,   - 4 + 3

∇ E 4,0 , - 4 = 2 ,   0 ,   - 1

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Passo 2

Show! Agora que temos o vetor diretor da reta e sabemos que ela passa pelo ponto 4,0 , - 4 , podemos parametriza-la por:

r t = 2,0 , - 1 t + 4,0 , - 4 ,   t ∈ R

Essa primeira foi simples, né?

Passo 3

Agora vamos descobrir que ponto P é esse? Bom, a reta passar de maneira perpendicular pelo cone também, certo? Então também tem direção paralela ao vetor gradiente do cone! Isso vai ser útil, então, calculemos o gradiente dele!

C x , y , z = 2 x - 1 2 + y 2 - z 2

∇ C x , y , z = C x ,   C y ,   C z

C x = 2 2 x - 1 . 2

C y = 2 y

C z = - 2 z

∇ C x , y , z = 4 2 x - 1 ,   2 y ,   - 2 z

Aí está o vetor gradiente :)

Passo 4

Agora, pensemos o seguinte, o ponto está na reta, certo? Então ele será sempre dado pela equação da própria, por um parâmetro em específico! Então, temos que:

P = 4 + 2 t , 0 , - 4 - t

Colocando o ponto no vetor gradiente, teremos:

∇ C x , y , z = 4 2 4 + 2 t - 1 ,   2.0 ,   - 2 - 4 - t

∇ C x , y , z = 4 7 + 4 t ,   0 ,   8 + 2 t

∇ C x , y , z = 28 + 16 t ,   0 ,   8 + 2 t

Passo 5

Estamos quase!! Agora, que outra informação nós temos ainda? Sabemos que esse vetor gradiente é paralelo ao vetor diretor da reta, 2,0 , - 1 ! Isso significa que a razão entre pares de dimensões é sempre a mesma para ambos os vetores!

Por exemplo, se x , y , z ∥ w , y , t , então temos que z x = t w , entendeu? Se pegarmos a terceira coordenada de cada um, dividida por outra, nesse caso, a primeira, teremos a mesma proporção!

Sendo assim, se pegarmos o vetor gradiente e esse vetor diretor da reta, dividindo a terceira pela primeira coordenadas em cada um, teremos a proporção:

8 + 2 t 28 + 16 t = - 1 2

E agora, resolvendo a equação, temos:

16 + 4 t = - 28 - 16 t

t = - 44 20 = - 11 5

Substituindo esse valor para o parâmetro em P , temos:

P = 4 - 22 5 , 0 , - 4 + 11 5

P = - 2 5 , 0 , - 9 5

Resposta

a) r t = 2,0 , - 1 t + 4,0 , - 4 ,   t ∈ R

b) P = - 2 5 , 0 , - 9 5

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