Exercícios Resolvidos de Reta Normal

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Enunciado

Seja f x , y = 2 x 2 + 4 y 2 x 2 + y 2 + 1

d) Seja Γ   : 0,2 π →   R 3 dada por Γ   t = ( sin ⁡ t , cos ⁡ t ,   z t ) . Sabendo que a imagem da curva está contida no gráfico de f, encontre o vetor tangente a Γ em Γ π 3 .

Passo 1

Olá meu amigo, Yuri aqui e hoje iremos dar inicio a resolução dessa querida questão. Precisamos encontrar um vetor tangente Γ em Γ π 3 . Primeiro, quem é Γ π 3 ? Vamos descobrir

Γ π 3 = sin ⁡ π 3 , cos ⁡ π 3 ,   z t

Temos que z t = f sin ⁡ t , cos ⁡ t

Substituindo

z t = 2 sin 2 ⁡ t + 2 cos 2 ⁡ t + 2 cos 2 ⁡ t sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t + 1 = 2 + 2 cos 2 ⁡ t 2 = cos 2 ⁡ t + 1

Passo 2

Agora completando Γ

Γ π 3 = sin ⁡ π 3 , cos ⁡ π 3 ,   cos 2 ⁡ π 3 + 1

A tangente em um ponto é Γ '

Γ ' π 3 = cos ⁡ π 3 , - sin ⁡ π 3 ,   - sin ⁡ 2 x

= 1 2 ,   - 3 2 ,   - 3 2

Resposta

= 1 2 ,   - 3 2 ,   - 3 2

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