Exercícios Resolvidos de Reta Normal

UFRJ, Cálculo 2, P2 2018.1, questão 6

Seja S a superfície de equação z = f ( x , y ) , onde f é diferenciável em R 2 . Se a reta

r t = 1 + t , 2 t , 1 + 4 t   ,   t ∈ R

É normal a S em P = ( 1,0 , 1 ) , então

f x 1,0 + f y ( 1,0 )

Vale:

a 3 / 4

b - 3 / 4

c 1 / 2

d - 1 / 2

e N e n h u m a   d a s   d e m a i s   r e s p o s t a s

Passo 1

Se a reta

r t = 1 + t , 2 t , 1 + 4 t

É normal a superfície S , então o vetor diretor dessa reta é também um vetor normal a essa superfície.

EPA EPA, mas aí a questão quer saber sobre vetor gradiente da função cujo gráfico é a superfície S .

Como que a gente relaciona essas duas coisas?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Lembra das propriedades geométricas do vetor gradiente?

Elas dizem pra gente que o vetor gradiente é perpendicular a uma superfície.

É justamente disso que a gente precisava, né?!

Temos então um vetor normal a superfície S , que é o vetor diretor da reta normal r ( t ) , e descobrimos agora que o vetor gradiente de z = f ( x , y ) também é normal a superfície S .

Agora é só a gente comparar esses dois vetores.

Passo 3

Podemos encontrar o vetor diretor da reta normal reescrevendo a parametrização da reta de outra forma, veja:

r t = 1 + t , 2 t , 1 + 4 t

r t = 1,0 , 1 ) + ( 1,2 , 4 t

E o vetor diretor é aquilo que tá multiplicando o parâmetro t , então:

n → = ( 1,2 , 4 )

E esse vetor é normal a superfície S .

Passo 4

O outro vetor que é normal a superfície S é o vetor gradiente de f :

z = f x , y ⇒ F x , y , z = z - f ( x , y )

Lembrando que F é a superfície que é gráfico de f , ou seja, é a superfície S .

Assim,

∇ F x , y = ( - f x , - f y , 1 )

Passo 5

Comparando os dois vetores, eles precisam ser múltiplos, pois ambos são normais a S , logo, ambos são paralelos:

- f x , - f y , 1 = λ ( 1,2 , 4 )

Igualando as componentes:

- f x = λ

- f y = 2 λ

1 = 4 λ

Da ultima equação tiramos que

λ = 1 4

Substituindo nas duas primeiras equações:

f x = - 1 4

f y = - 2 . 1 4

Passo 6

Agora, somando f x com f y :

f x + f y = - 1 4 - 2 4 = - 3 4

Resposta

Letra b

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