Exercícios Resolvidos de Reta Normal

Plano Tangente e Reta Normal, Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Interseção de Superfícies,

Seja S a superfície dada pela equação x 2 - 2 y 2 + 2 z 2 - 10 = 0 .

a) Existe apenas um ponto A na superfície S tal que a reta normal a S em A contém os pontos 3,0 , 4 e 1 , - 2,0 . Determine o ponto A .

b) Sejam f : R 2 → R e γ : I ⊂ R → R 3 diferenciáveis com ∇ f - 2 , - 1 = b , 1 . Suponha que a imagem de γ é a interseção do gráfico de f com a superfície S , dada no item ( a ) , e que o ponto P = ( - 2 , - 1 , - 2 ) pertente à imagem de γ .

Determine b de modo que os planos tangente ao gráfico de f e à S sejam ortogonais no ponto P e dê uma equação da reta tangente à I m γ no ponto P .

Passo 1

a)

A questão nos deu uma superfície e dois pontos no espaço. Mas a parte boa é que esses dois pontos estão contidos na reta normal que passa pelo ponto A (e queremos descobrir qual é esse ponto).

Bom, dito isso, podemos concluir que o vetor gradiente no ponto A é múltiplo do vetor formado pelos dois pontos dados no enunciado. Isso porque se tanto um quanto outro estão sobre a mesma reta, que é a reta normal em A ! Que tal começarmos encontrando o vetor formado pelos pontos M = 3,0 , 4 e N = 1 , - 2,0 ?

Para isso, basta subtrair um do outro:

M N → = 3,0 , 4 - 1 , - 2,0 = 2,2 , 4

Sim, é apenas isso!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que já temos um dos vetores, vamos calcular o vetor gradiente no ponto A = x 0 , y 0 , z 0 .

Sabemos que o vetor gradiente é dado por:

∇ S x , y , z = S x , S y , S z

Sendo S = x 2 - 2 y 2 + 2 z 2 - 10 , então:

S x = 2 x

S y = - 4 y

S z = 4 z

E o nosso vetor gradiente é ∇ S x , y , z = 2 x , - 4 y , 4 z

Para o ponto A , temos que ∇ S x 0 , y 0 , z 0 = 2 x 0 , - 4 y 0 , 4 z 0

Tudo bem até aí?

Passo 3

Beleza, vamos continuar!

Como concluímos, o vetor gradiente é múltiplo do vetor M N → . Então, podemos dizer que o vetor gradiente é o vetor M N → multiplicado por uma constante:

∇ S x 0 , y 0 , z 0 = λ 2,2 , 4

Ou seja...

2 x 0 , - 4 y 0 , 4 z 0 = λ 2,2 , 4

Se igualarmos as coordenadas de cada vetor, vamos chegar em:

2 x 0 = 2 λ - 4 y 0 = 2 λ 4 z 0 = 4 λ

E isolando as coordenadas do nosso ponto A = x 0 , y 0 , z 0 , teremos:

x 0 = λ y 0 = - λ 2 z 0 = λ

Passo 4

Bom, agora que temos os valores de x 0 , y 0 , z 0 em função de λ , fica muito simples! Só precisamos colocar esse valores na nossa equação da superfície. Com isso, encontraremos os possíveis valores para λ . Se a superfície é dada por:

x 2 - 2 y 2 + 2 z 2 - 10 = 0

Colocando que x 0 , y 0 , z 0 = λ , - λ 2 , λ , teremos:

λ 2 - 2 - λ 2 2 + 2 λ 2 - 10 = 0

λ 2   – λ 2 2 + 2 λ 2 = 10

5 λ 2 = 20

λ = ± 2

Pronto! Encontramos os valores de λ !

Passo 5

Agora temos que substituir os valores encontrados de λ na equação do vetor gradiente com o vetor M N → . Fica, para λ = 2 :

2 x 0 , - 4 y 0 , 4 z 0 = 2 2,2 , 4

2 x 0 , - 4 y 0 , 4 z 0 = 4,4 , 8

Assim,

2 x 0 = 4 - 4 y 0 = 4 4 z 0 = 8

E temos, então o ponto A = x 0 , y 0 , z 0 sendo:

x 0 = 2 y 0 = - 1 z 0 = 2

E como a reta é dada por

r t = P 0 + n → t

Sua equação fica sendo:

r t = 2 , - 1,2 + 2,2 , 4 t

Sendo 2,2 , 4 o vetor M N → , que deve ser perpendicular à superfície. E veja que essa reta realmente é a do nosso problema, porque contém os pontos 3,0 , 4 quando colocamos t = 1 2 , e 1 , - 2,0 para t = - 1 2 .

Passo 6

Agora devemos verificar a outra possível parametrização da reta, com λ = - 2 (que não deve conter os pontos dados do enunciado). Com esse valor, teremos:

2 x 0 , - 4 y 0 , 4 z 0 = - 2 2,2 , 4

2 x 0 , - 4 y 0 , 4 z 0 = - 4 , - 4 , - 8

Assim,

2 x 0 = - 4 - 4 y 0 = - 4 4 z 0 = - 8

E temos, então o ponto A = x 0 , y 0 , z 0 sendo:

x 0 = - 2 y 0 = 1 z 0 = - 2

E como a reta é dada por

r t = P 0 + n → t

Sua equação fica:

r t = - 2,1 , - 2 + 2,2 , 4 t

Mas veja agora, que, qualquer que seja o valor do parâmetro t , não conseguimos fazer a reta conter os pontos 3,0 , 4 e 1 , - 2,0 ! Isso confirma o que o enunciado diz, que apenas em um ponto da superfície, a reta normal contém os pontos 3,0 , 4 e 1 , - 2,0 .

Passo 7

b)

Relaxa, esse letra b é beeem mais fácil do que parece! O enunciado é uma parada gigante e complicada, mas vamos tentar destrinchar em pacotes menores e entender qual caminho devemos tomar :)

Primeiro, vamos separar o que temos:

  • Uma função f x , y , que tem como vetor gradiente ∇ f - 2 , - 1 = b , 1
  • Uma curva γ , que é a interseção se f x , y e a superfícies S x , y , z da letra a
  • Um ponto P = - 2 , - 1 , - 2 que está na curva γ

E temos duas coisas a fazer: determinar o valor de b para que o plano tangente à superfície S x , y , z = x 2 - 2 y 2 + 2 z 2 - 10 e o plano tangente à f x , y sejam perpendiculares em P ; e determinar uma parametrização para a reta tangente a γ no ponto P .

Passo 8

Dito isso, vamos dar mais uma filosofada? Desculpa se ficar chato, mas não tem outro jeito! Vou tentar ser o mais simples que der ;) Vamos lá:

Nada sabemos sobre a função f , além do que ela é uma função de duas variáveis e que seu gradiente é o que o enunciado deu. O ponto importante é que, se escrevermos:

f x , y = z

E chamarmos a expressão f x , y - z = 0 de F x , y , z , teremos uma “nova função” de 3 variáveis. E, como o gradiente de f x , y é b , 1 , podemos dizer que o gradiente da F x , y , z será b , 1 , - 1 , sendo que a última coordenada é a derivada parcial de F em relação a z , sacou?

Ok, e tudo isso pra quê? Porque se os planos tangentes a cada superfície são perpendiculares no ponto P , então os vetores normais a cada uma das superfícies, nesse mesmo ponto P , também são perpendiculares entre si! E esses vetores que são normais às superfícies no ponto P , são os vetores gradientes! E como eles são perpendiculares, podemos dizer que o produto escalar entre eles é 0 :

∇ F n o   p o n t o   P   .   ∇ S n o   p o n t o   P = 0

Como o gradiente de F só depende de b , vamos deixá-lo b , 1 , - 1 mesmo. Mas agora temos que calcular o vetor gradiente de S em P = - 2 , - 1 , - 2 .

Passo 9

Sabemos da letra a que ∇ S x 0 , y 0 , z 0 = 2 x 0 , - 4 y 0 , 4 z 0 , então, quando x 0 , y 0 , z 0 = - 2 , - 1 , - 2 , teremos:

∇ S x 0 , y 0 , z 0 = 2 . - 2 , - 4 . - 1,4 . - 2

∇ S x 0 , y 0 , z 0 = - 4,4 , - 8

Passo 10

Agora podemos resolver a equação ∇ F n o   p o n t o   P   .   ∇ S n o   p o n t o   P = 0

∇ F - 2 , - 1 , - 2   .   ∇ S - 2 , - 1 , - 2 = 0

b , 1 , - 1   .   - 4,4 , - 8 = 0

- 4 b + 4 + 8 = 0

b = 3

E aí está! Acabamos de encontrar o valor de b a partir de um tosco produto escalar!

Passo 11

Beleza, agora vamos parametrizar a reta tangente a γ no ponto P . Bom, como γ é a interseção de duas superfícies, S x , y , z e F x , y , z , podemos afirmar que sua reta tangente é perpendicular tanto ao vetor gradiente de uma superfície como de outra. Por que? Porque veja, γ está tanto em uma superfície como na outra. Sua reta tangente, também é tangente tanto a uma superfície como a outra. E qualquer coisa tangente à uma superfície é perpendicular ao seu vetor gradiente!

Portanto, podemos fazer que o produto vetorial (que retorna um vetor perpendicular aos outros 2 ) entre os vetores gradientes de S x , y , z e F x , y , z nos dá o vetor diretor da reta tangente à γ no ponto pedido. Vamos fazer então esse produto vetorial, agora que já temos o b !

∇ F - 2 , - 1 , - 2 × ∇ S - 2 , - 1 , - 2 =

3,1 , - 1 × - 4,4 , - 8 =

i ^ j ^ k ^ 3 1 - 1 - 4 4 - 8 = - 8 i ^ + 12 k ^ + 4 j ^ + 4 k ^ + 4 i ^ + 24 j ^ =

- 4 i ^ + 28 j ^ + 16 k ^ = - 4,28,16

Passo 12

Beleza, agora que encontramos o vetor diretor, basta multiplicá-lo por um parâmetro e somarmos o ponto P ! A equação da reta fica:

σ t = - 2 , - 1 , - 2 + - 4,28,16 t

Resposta

  1. A = 2 , - 1,2 , para que a reta contenha os pontos 3,0 , 4 e 1 , - 2,0
  2. b = 3 e a reta é σ t = - 2 , - 1 , - 2 + - 4,28,16 t

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas