Exercícios Resolvidos de Reta Normal

Encontre equações para o plano tangente e para a reta normal à superfície

z = x cos ⁡ y - y e x

Na origem.

Passo 1

Vamos seguir o passo a passo de plano tangente e reta normal.

Começamos jogando tudo para um lado só e chamando de F ( x , y , z ) :

z - x cos ⁡ y + y e x

F x , y , z = z - x cos ⁡ y + y e x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora calculando o gradiente de F :

∇ F x , y , z = ( - cos ⁡ y + y e x , x sen ⁡ y + e x , 1 )

No ponto 0,0 , 0 :

∇ F 0,0 , 0 = ( - cos ⁡ 0 + 0 e 0 , 0 sen ⁡ 0 + e 0 , 1 )

∇ F 0,0 , 0 = ( - 1 , 1 , 1 )

Passo 3

Substituindo na equação do plano tangente:

x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ⋅ ∇ F = 0

x - 0 , y - 0 , z - 0 ⋅ ( - 1,1 , 1 ) = 0

- x + y + z = 0

E na equação da reta normal:

r t = P 0 + ∇ F t

r t = 0,0 , 0 + ( - 1,1 , 1 ) t

r t = - t , t , t   ,   t ∈ R

Resposta

Plano tangente:

- x + y + z = 0

Reta normal:

r t = - t , t , t   ,   t ∈ R

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