Exercícios Resolvidos de Reta Normal

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Enunciado

3 – Considere a função f x , y = x y .

f) Dê equações paramétricas para a reta normal ao gráfico de f no ponto 2,1 , f 2,1 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão, queremos calcular uma reta paramétrica normal à superfície de f no ponto P = 2,1 , f 2,1 .

Tem ideia do que podemos fazer? 👀

Para obter uma equação paramétrica de uma reta normal a uma superfície, existe uma formulinha que nos ajuda muito.

Essa formulinha é dada por

σ t = x 0 , y 0 , f x 0 , y 0 + t - ∂ f x 0 , y 0 ∂ x , - ∂ f x 0 , y 0 ∂ y , 1

Então o que temos que fazer é obter as derivadas de f com relação a x e a y , aplicar os pontos do ponto P e substituir em σ t

Sacou? Bora lá!

Passo 2

Derivando pelo método de derivação polinomial, temos que

∂ f ∂ x = y ,     ∂ f ∂ y = x

Aplicando as coordenadas de P

∂ f x 0 , y 0 ∂ x = 1 ,     ∂ f x 0 , y 0 ∂ y = 2

O valor f x 0 , y 0 é obtido calculando a imagem de 2,1 em f , ou seja

f 2,1 = 2 · 1 = 2

Substituindo essas informações na fórmula.

σ t = x 0 , y 0 , f x 0 , y 0 + t - ∂ f x 0 , y 0 ∂ x , - ∂ f x 0 , y 0 ∂ y , 1

σ t = 2,1 , 2 + t - 1 , - 2,1

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

σ t = 2,1 , 2 + t - 1 , - 2,1

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Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no ponto dado. f x , y = 3 x 3 y - x ye m1 , - 1 , f 1 , - 1