Exercícios Resolvidos de Reta Normal

Plano tangente e Reta normal

Considere a superfície S dada pela equação

cos ⁡ π x - x 2 y + e x z + y z = 4

Quais são as equações do plano tangente e da reta normal a S no ponto 0,1 , 2 ?

  1. 2 x + 2 y + z = 4 e x = 2 t , y = 1 + 2 t , z = 2 + t
  2. x + y + z = 3 e x = 2 t , y = 1 + t , z = 2 + 2 t
  3. 2 x + 2 y + z = 4 e x = t , y = 1 + 2 t , z = 2 + 2 t
  4. 2 x + y + z = 3 e x = t , y = 1 + 2 t , z = 2 + t
  5. Nenhuma das outras alternativas

Passo 1

Vamos ter

Equação do plano:

x , y , z ⋅ n → = 0,1 , 2 ⋅ n →

Equação da reta:

r t = 0,1 , 2 + n → t

Precisamos achar esse vetor normal n →

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Passo 2

Para achar o vetor normal primeiro fazemos

F x , y , z = cos ⁡ π x - x 2 y + e x z + y z - 4

Que é passar tudo para um lado e chamar de F x , y , z . Agora vamos achar o gradiente dessa função

∇ F = - 2 x y + z e x z - π sen ⁡ π x , - x 2 + z , x e x z + y

O vetor normal vai ser

n → = ∇ F 0,1 , 2

n → = - 2 ⋅ 0 ⋅ 1 + 2 e 0 ⋅ 2 - π sen ⁡ π 0 , - 0 2 + 2 , 0 e 0 ⋅ 2 + 1

n → = 2 , 2,1

Passo 3

O plano tangente fica

x , y , z ⋅ 2,2 , 1 = 0,1 , 2 ⋅ 2,2 , 1

2 x + 2 y + z = 2 + 2

2 x + 2 y + z = 4

Passo 4

A reta normal fica

r t = 0,1 , 2 + 2,2 , 1 t

r t = 2 t , 1 + 2 t , 2 + t

Então

x = 2 t

y = 1 + 2 t

z = 2 + t

Resposta

Alternativa (a)

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