Exercícios Resolvidos de Reta Normal

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Enunciado

Determine a equação da reta normal ao gráfico de cada função a seguir no ponto

a indicado.

f ( x ) = x 5 - 4 x 3 - 2

no ponto x = 1

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Nosso objetivo é encontrar a reta normal ao gráfico no ponto x = 1 . Vocês lembram da definição da reta tangente ao gráfico, e reta normal? Vamos revisar!

a reta r tangente ao gráfico da função f no ponto x = x 0 é dada por:

r :   ( y - f ( x 0 ) ) = f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Ou seja, ela depende da derivada de f . O que faz sentido, já que a derivada de uma função da a inclinação da reta tangente ao gráfico dessa função.

e o que seria a reta normal? Ora é a reta perpendicular à reta tangente. Então, se

r :   ( y - f ( x 0 ) ) = f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

é a reta tangente ao gráfico no ponto x = x 0 . A reta normal nesse ponto será:

n :   ( y - f ( x 0 ) ) = - 1 f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Com isso em mente, vamos calcular a nossa reta de interesse:

Passo 2

Queremos encontrar a reta tangente a f no ponto x = 1 . A nossa f é a função abaixo.

f ( x ) = x 5 - 4 x 3 - 2

Vimos no passo anterior que a reta é dada por:

r :   ( y - f ( x 0 ) ) = f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

no nosso caso, x 0 = 1 . Vamos começar calculando a derivada de f . Usando a regra da derivada de função polinomial, temos que:

( x p ) ' = p ( x p - 1 )

então, pela regra e pela linearidade da derivada, temos que

f ' ( x ) = ( x 5 - 4 x 3 - 2 ) '

= ( x 5 ) ' - 4 ( x 3 ) ' - ( 2 ) '

= 5 x 4 - 12 x 2

Calculando f ' ( x 0 ) , para x 0 = 1 temos:

f ' ( 1 ) = 5 ( 1 ) 4 - 12 ( - 1 ) 2

= - 7

Acabamos de obter a inclinação da reta tangente no ponto x = 1 . Descobrimos que

f ' ( 1 ) = - 7

Agora, só precisamos substituir os valores na equação da reta normal. Lembrando que ela é dada por

n :   ( y - f ( x 0 ) ) = - 1 f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Substituindo os valores:

n :   ( y - f ( 1 ) ) = - 1 ( - 7 ) ( x - ( 1 ) )

⇒ n :   ( y + 5 ) = 1 7 ( x - 1 )

7 y + 35 = x - 1

Isolando y , descobrimos que a reta normal é:

y = x - 36 7

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

y = x - 36 7

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