Exercícios Resolvidos de Reta Normal

2. Seja f x , y , z = z - e x s e n y e P = ( l n 3,3 π / 2,2 ) . Obtenha:

a) ∇ f P

b) A equação de S , a superfície de nível de f que contém P .

c) A equação da reta normal à S em P .

d) A equação do plano tangente à S em P .

Passo 1

a) Calcular o gradiente:

∇ f = - e x s e n y ,   - e x c o s y ,   1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

No ponto   P = ( l n 3,3 π / 2,2 ) , temos:

∇ f = - e l n 3 s e n 3 π 2 ,   - e l n 3 c o s 3 π 2 ,   1

∇ f P = - 3 - 1 ,   - 3 0 ,   1

Então:

∇ f P = 3 ,   0 ,   1

Passo 3

b) Basta substituir:

x = l n 3   ; y = 3 π 2   ; z = 2

Fica:

f x , y , z = 2 - e l n 3 s e n 3 π 2 = 2 - 3 - 1 = 5

Então, a equação de S será:

5 = z - e x s e n y

Passo 4

c) Já calculamos:

n → = ∇ f P = 3 ,   0 ,   1

Agora, basta substituir na equação da reta normal. Temos:

r t = P + n → λ

r t = ( l n 3,3 π / 2   , 2 ) + 3 ,   0 ,   1 λ ,   λ   ∈ R

Então fica:

r t = l n 3 + 3 λ , 3 π 2 ,   2 + λ ,   λ   ∈ R  

Passo 5

d) Já calculamos:

n → = ∇ f P = 3 ,   0 ,   1

Agora, basta substituir na equação do plano tangente. Temos:

n → x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 = 0

3,0 , 1 x - l n 3 ,   y - 3 π 2 ,   z - 2 = 0

Fica:

3 x + z - 3 l n 3 - 2 = 0

3 x + z = 3 l n 3 + 2

Resposta

a) ∇ f P = 3 , 0,1

b) z - e x s e n y = 5

c) x , y , z = l n 3 + 3 λ , 3 π 2 ,   2 + λ ,   λ   ∈   R  

d) 3 x + z = 2 + 3 l n 3

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