Exercícios Resolvidos de Reta Normal

UFRJ, Cálculo 2, P2 2008.2, questão 1, item b.

Considere a função f : R 2 ⟶ R definida por

f x , y = - 4 y x 2 + y 2 + 3

E cujo gráfico encontra-se na figura abaixo.

Determine a equação da reta normal ao gráfico da função f ( x , y ) no ponto P = 1 , - 2,1 .

Passo 1

Encontrar o ponto P 0 da superfície:

O ponto P 0 é conhecido e dado pelo problema:

P 0 = 1 , - 2,1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Encontrar o vetor n → :

Caso seja necessário, substituir f ( x , y ) por z na equação da superfície:

f x , y = - 4 y x 2 + y 2 + 3

⇒ z = - 4 y x 2 + y 2 + 3

Passo 3

Jogar tudo para o lado esquerdo na equação da superfície e deixar zero no lado direito:

z = - 4 y x 2 + y 2 + 3

⇒ 4 y x 2 + y 2 + 3 + z = 0

Passo 4

Chamar de F x , y , z a expressão deixada no lado esquerdo da equação:

F x , y , z = 4 y x 2 + y 2 + 3 + z

Passo 5

Calcular gradiente de F : ∇ F x , y , z :

Calculando ∂ F ∂ x :

Regra do quociente:

∂ F ∂ x = 4 y ' ⋅ x 2 + y 2 + 3 - 4 y ⋅ x 2 + y 2 + 3 ' x 2 + y 2 + 3 2

∂ F ∂ x = 0 ⋅ x 2 + y 2 + 3 - 4 y ⋅ ( 2 x ) x 2 + y 2 + 3 2

∂ F ∂ x = - 4 y ⋅ ( 2 x ) x 2 + y 2 + 3 2

⇒ ∂ F ∂ x = - 8 x y x 2 + y 2 + 3 2

Passo 6

Calculando ∂ F ∂ y :

Regra do quociente:

∂ F ∂ y = 4 y ' ⋅ x 2 + y 2 + 3 - 4 y ⋅ x 2 + y 2 + 3 ' x 2 + y 2 + 3 2

∂ F ∂ y = 4 ⋅ x 2 + y 2 + 3 - 4 y ⋅ ( 2 y ) x 2 + y 2 + 3 2

∂ F ∂ y = 4 x 2 + 4 y 2 + 12 - 8 y 2 x 2 + y 2 + 3 2

∂ F ∂ y = 4 x 2 - 4 y 2 + 12 x 2 + y 2 + 3 2

⇒ ∂ F ∂ y = 4 ( x 2 - y 2 + 3 ) x 2 + y 2 + 3 2

Passo 7

Calculando ∂ F ∂ z :

∂ F ∂ z = 1

Passo 8

Calculando gradiente ∇ F x , y , z :

∇ F x , y , z = - 8 x y x 2 + y 2 + 3 2 , 4 x 2 - y 2 + 3 x 2 + y 2 + 3 2 ,   1  

Passo 9

Calcular gradiente de F no ponto P 0 : ∇ F P 0 = ∇ F x 0 , y 0 , z 0 :

∇ F P 0 = ∇ F 1 , - 2,1

⇒ ∇ F P 0 = - 8 1 ( - 2 ) ( 1 ) 2 + ( - 2 ) 2 + 3 2 ,   4 ( 1 2 - - 2 2 + 3 ) ( 1 ) 2 + ( - 2 ) 2 + 3 2 , 1

∇ F P 0 = 16 1 + 4 + 3 2 ,   4 ( 1 - 4 + 3 ) 1 + 4 + 3 2 , 1

∇ F P 0 = 16 8 2 ,   0,1

⇒ ∇ F P 0 = 1 4 ,   0,1

Passo 10

O vetor normal será n → = ∇ F P 0 :

n → = 1 4 ,   0,1

Passo 11

Substituir P 0 e n → na equação da reta:

r t = P 0 + n → t

⇒ r t = 1 , - 2,1 + 1 4 , 0,1 t

⇒ r t = 1 + 1 4 t ,   - 2 + 0 t , 1 + t

⇒ r t = 1 + t 4 ,   - 2,1 + t

t ∈ R

Resposta

r t = 1 + t 4 ,   - 2 ,   1 + t

t ∈ R

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