Exercícios Resolvidos de Reta Normal

UFF, Cálculo 2B, Professor Rodrigo Salomão, P1, questão 1, item e

Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.

A reta normal ao gráfico da função

f x , y = e x cos ⁡ y

Em 0,0 , 1 , é dada por - t , 0,1 + t , t ∈ R .

Passo 1

Bom, pra gente saber se essa afirmação é verdadeira ou não, temos que calcular a reta normal a superfície que é gráfico dessa função.

Vamos lá então!

Passo 1: Encontrar o ponto P 0 da superfície:

O ponto P 0 é conhecido e dado pelo problema:

P 0 = 0,0 , 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Passo 2: Encontrar o vetor n → (que é o vetor gradiente):

Caso seja necessário, substituir f ( x , y ) por z na equação da superfície:

f x , y = e x cos ⁡ y

z = e x cos ⁡ y

Passo 3

Jogar tudo para o lado esquerdo na equação da superfície e deixar zero no lado direito:

z - e x cos ⁡ y = 0

Passo 4

Chamar de F x , y , z a expressão deixada no lado esquerdo da equação:

F x , y , z = z - e x cos ⁡ y

Passo 5

Calcular gradiente de F :

∇ F x , y , z = - e x cos ⁡ y , - e x sen ⁡ y c o s 2 y , 1

Passo 6

Calcular gradiente de F no ponto P 0 :

∇ F P 0 = ∇ F 0,0 , 1

∇ F P 0 = - e 0 cos ⁡ 0 , - e 0 sen ⁡ 0 c o s 2 0 , 1

⇒ ∇ F P 0 = - 1,0 , 1

Passo 7

O vetor normal será n → = ∇ F P 0 :

n → = - 1,0 , 1

Passo 8

-

Agora só falta substituir nas equações da reta:

r t = P 0 + n → t

⇒ r t = 0,0 , 1 + - 1,0 , 1 t

⇒ r t = - t ,   0 ,   1 + t

t ∈ R

Logo, a afirmação é verdadeira!

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