Exercícios Resolvidos de Reta Normal

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Enunciado

A curva Astróide é constituída dos pares ( x , y ) para os quais

x 2 3 + y 2 3 = 1

Determine o ponto da astróide ( x 0 , y 0 ) mais próximo da origem, e o ponto ( x 1 , y 1 ) da astróide mais distante da origem. Calcule a distância entre cada um desses pontos e a origem.

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Para calcularmos a distância entre dois pontos, usaremos:

D 2 = x - a 2 + y - b ²

Vamos começar calculando a distância mais pr��xima da origem ( x 0 , y 0 ) . Como a origem tem o ponto:

a , b = ( 0,0 )

Logo:

D 2 = x ² + y ²

Passo 2

Show, mas como estamos falando de distância, precisamos da derivada parcial da nossa função distância, então:

D 2 = x ² + y ²

d x = 2 x

d y = 2 y

Logo:

∇ D x , y = ( 2 x , 2 y )

Ok, mas também temos a nossa restrição, que é justamente a nossa curva Astróide:

x 2 3 + y 2 3 = 1

Vamos dar uma arrumada nela:

g x , y = x 2 3 + y 2 3 - 1

Aqui nós também vamos precisar calcular o gradiente, então:

g x x , y = 2 3 x - 1 3 x x   = 2 3 x 1 3   x x = 2 x 3 x 4 3

g y x , y = 2 3 y - 1 3 y y = 2 3 y 1 3 y y = 2 y 3 y 4 3

∇ g x , y = 2 x 3 x 4 3 , 2 y 3 y 4 3

Agora teremos que aplicar o multiplicador de Lagrange e igualar com a nossa função distância:

∇ D x , y = λ ∇ g x , y

2 x , 2 y = λ 2 x 3 x 4 3 , 2 y 3 y 4 3

Igualando cada componente e trazendo a nossa restrição, vamos montar um sistema:

2 x = λ 2 x 3 x 4 3 2 y = λ 2 y 3 y 4 3 x 2 3 + y 2 3 = 1

Passo 3

Show, já temos nosso sistema montado, vamos começar a trabalhar em cima dele:

2 x = λ 2 x 3 x 4 3 2 y = λ 2 y 3 y 4 3 x 2 3 + y 2 3 = 1

Vamos dividir por 2 tanto na esquerda quanto na direita nas duas primeiras equações:

x = λ x 3 x 4 3 y = λ y 3 y 4 3 x 2 3 + y 2 3 = 1

Agora vamos cortar o x de cada lado da primeira equação e o y de cada lado da segunda equação:

1 = λ 1 3 x 4 3 1 = λ 1 3 y 4 3 x 2 3 + y 2 3 = 1

Vamos ajustar um pouco mais:

x 4 3 = λ 1 3 y 4 3 = λ 1 3 x 2 3 + y 2 3 = 1

Reparem que podemos igualar as 2 primeiras equações:

x 4 3 = y 4 3

x = y

Sabendo disso, podemos usar a terceira equação:

x 2 3 + x 2 3 = 1

2 x 2 3 = 1

x 2 3 = 1 2 → x = 1 2 2 → x = 2 4

Logo:

y = x = 2 4

Logo teremos os pontos:

P 1 = 2 4 , 2 4

P 2 = 2 4 , - 2 4

P 3 = - 2 4 , 2 4

P 4 = - 2 4 , - 2 4

Com isso, podemos calcular a distância:

D 2 = x ² + y ²

Como o termo está ao quadrado, podemos ignorar o sinal:

D 2 = 2 4 ² + 2 4 ²

D 2 = 2 16 + 2 16 = 1 4

D = 1 2

Passo 4

Show, já temos o ponto referente a menor distância. Agora temos que encontrar o ponto de maior distância. Bom, para isso, nós temos que olhar para os eixos da nossa curva.

x 2 3 + y 2 3 = 1

No caso, para termos a maior distância possível para a nossa função acima, nós temos que zerar uma das nossas variáveis, então:

Para x = 0

y 2 3 = 1 → y = ± 1

Logo:

P 5 = 0 , - 1

P 6 = 0,1

Da mesma forma, vamos fazer ao contrário. Para y = 0 :

x 2 3 = 1 → x = ± 1

Logo:

P 7 = - 1 , 0

P 8 = 1 , 0

Substituindo na nossa fórmula da distância:

D 2 = x ² + y ²

D 2 = 0 + 1 = 1

Resposta

D i s t â n c i a   M í n i m a = 1 2

D i s t â n c i a   M á x i m a = 1

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