Exercícios Resolvidos de Reta Normal

Determine o ponto, situado no primeiro octante, da superfície de equação

x 2 + 3 y 2 + 3 z 2 2 = 18

No qual a reta normal é perpendicular ao plano

x + y + z = 10

Passo 1

Se a reta normal é perpendicular ao plano que foi dado, então esse plano é o plano tangente a superfície. Precisamos achar o vetor normal às duas superfícies e então compara-los, isso porque eles são proporcionais, vou chegar a isso mais tarde.

Começando pela superfície!!

Passo 1: Encontrar o ponto P 0

O ponto P 0 é desconhecido, vamos pegar um ponto genérico.

P 0 = x 0 , y 0 , z 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Passo 2: Encontrar o vetor n (que é o vetor gradiente):

Caso seja necessário, substituir f ( x , y ) por z na equação da superfície:

Não é necessário! Próximo passo!

Passo 3

Jogar tudo para o lado esquerdo na equação da superfície e deixar zero no lado direito:

x 2 + 3 y 2 + 3 z 2 2 = 18

x 2 + 3 y 2 + 3 z 2 2 - 18 = 0

Passo 4

Chamar de F x , y , z a expressão deixada no lado esquerdo da equação:

F x , y , z = x 2 + 3 y 2 + 3 z 2 2 - 18

Passo 5

Calcular gradiente de F :

F x , y , z = 2 x , 6 y , 3 z

Passo 6

Calcular gradiente de F no ponto P 0 :

F P 0 = F x 0 , y 0 , z 0

F P 0 = 2 x 0 , 6 y 0 , 3 z 0

F P 0 = 2 x 0 , 6 y 0 , 3 z 0

Passo 7

O vetor normal será n = F P 0 :

n = 2 x 0 , 6 y 0 , 3 z 0

Passo 8

Vamos agora para o vetor normal ao plano dado.

Calculando gradiente:

Caso seja necessário, substituir f ( x , y ) por z na equação da superfície:

Não é necessário! Próximo passo!

Passo 9

Jogar tudo para o lado esquerdo na equação da superfície e deixar zero no lado direito:

x + y + z = 10

x + y + z - 10 = 0

Passo 10

Chamar de F x , y , z a expressão deixada no lado esquerdo da equação:

F x , y , z = x + y + z - 10

Passo 11

Calcular gradiente de F :

F x , y , z = 1,1 , 1

Passo 12

Calcular gradiente de F no ponto P 0 :

F P 0 = F x 0 , y 0 , z 0

F P 0 = 1,1 , 1

F P 0 = 1,1 , 1

Passo 13

O vetor normal será n = F P 0 :

n = 1,1 , 1

Passo 14

Vamos ver agora o que significa eles serem proporcionais. Seria dizer que temos um k que faz o seguinte papel

2 x 0 , 6 y 0 , 3 z 0 = k 1,1 , 1

Sacou? Não faz diferença colocar na direita ou na esquerda.

Isso dos diz que

2 x 0 = k

6 y 0 = k

3 z 0 = k

Passo 15

Mas o que fazer com isso?

Lembra que o ponto pertence a superfície que ele deu? Isso nos diz que

x 0 2 + 3 y 0 2 + 3 z 0 2 2 = 18

Vamos trocar cada valor pela relação com k e encontrar k , as relações são

x 0 = k 2

y 0 = k 6

z 0 = k 3

Substituindo isso na equação da curva vai ser

k 2 2 + 3 k 6 2 + 3 2 k 3 2 = 18

k 2 4 + 3 k 2 36 + 3 2   .     k 2 9 = 18

k 2 4 + k 2 12 + k 2 6 = 18

Igualando os denominadores

3 k 2 + k 2 + 2 k 2 12 = 18

6 k 2 12 = 18

k 2 2 = 18

k 2 = 36

k = ± 6

Passo 16

Beleza mas qual k ? Lembra láááááá no enunciado que ele falava que precisa estar no primeiro octante? Isso diz que todas as componentes do ponto precisam ser positivas.

Dessa forma só podemos ter k = 6 , isso diz que os pontos é

x 0 = 6 2 = 3

y 0 = 6 6 = 1

z 0 = 6 3 = 2

O ponto vai ser

3,1 , 2

Resposta

3,1 , 2

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