Exercícios Resolvidos de Reta Normal

UFRJ, Cálculo 2, PF 2014.2, questão múltipla escolha 7

A reta normal à superfície x y z = 4 no ponto P = ( 2,2 , 1 ) intercepta o plano x = 0 no ponto :

(a) ( 0,2 , 1 )

(b) ( 0,1 , - 1 )

(c) ( 0,0 , 0 )

(d) ( 0 , - 1,0 )

(e) ( 0,0 , - 3 )

Passo 1

Precisamos encontrar as equações paramétricas da reta normal e depois igualar a componente x a zero, para descobrir onde a reta intercepta o plano x = 0 .

Passo 1: Encontrar o ponto P 0 da superfície:

O ponto P 0 é conhecido e dado pelo problema:

P 0 = 2,2 , 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Passo 2: Encontrar o vetor n (que é o vetor gradiente):

Caso seja necessário, substituir f ( x , y ) por z na equação da superfície:

Não é, próximo passo!

Passo 3

Jogar tudo para o lado esquerdo na equação da superfície e deixar zero no lado direito:

x y z = 4

    x y z - 4 = 0

Passo 4

Chamar de F x , y , z a expressão deixada no lado esquerdo da equação:

F x , y , z = x y z - 4

Passo 5

Calcular gradiente de F :

  F x , y , z = ( y z , x z , x y )

Passo 6

Calcular gradiente de F no ponto P 0 :

F P 0 = F 2,2 , 1

F P 0 = ( 2,2 , 4 )

Passo 7

O vetor normal será n = F P 0 :

n = 2,2 , 4

Passo 8

Substituir nas equações da reta:

r t = P 0 + n t

r t = 2,2 , 1 + 2,2 , 4 t

r t = ( 2 + 2 t , 2 + 2 t , 1 + 4 t )

t R

Essa é a nossa reta normal a superfície.

Passo 9

Agora ele quer saber em que ponto essa reta intercepta o plano x = 0 .

De boa, temos

x = 0       2 + 2 t = 0

2 t = - 2

t = - 1

Uhul, estamos quase acabando! Substituindo t = - 1 na equação da reta:

r - 1 = 0 ,   0 ,   1 - 4 = ( 0,0 , - 3 )

Resposta

Alternativa (e)

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas