Exercícios Resolvidos de Transformadas Inversas

Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp. 370-31.

Calcule:

L - 1 s ( s 2 + 4 ) ( s + 2 )  

Passo 1

Bem, essa transformada não está parecida com nada que a gente conhece, então vamos tentar separar em frações parciais para dar uma melhorada nisso aí. s ( s 2 + 4 ) ( s + 2 ) = a s + b s 2 + 4 + c s + 2

Temos um polinômio de primeiro grau na primeira fração à direita da igualdade porque o denominador é polinômio de segundo grau.

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Passo 2

Juntando tudo para comparar os polinômios:

a s + b s 2 + 4 + c s + 2 = a s + b s + 2 + c ( s 2 + 4 ) ( s 2 + 4 ) ( s + 2 ) = a s 2 + b s + 2 a s + 2 b + c s 2 + 4 c ( s 2 + 4 ) ( s + 2 )

Juntando os termos de mesmo grau:

a + c s 2 + 2 a + b s + ( 4 c + 2 b ) ( s 2 + 4 ) ( s + 2 ) = s ( s 2 + 4 ) ( s + 2 )

Comparando os coeficientes, temos o seguinte sistema:

a + c = 0 2 a + b = 1 4 c + 2 b = 0

Pela primeira equação:

a = - c

Substituindo na segunda:

- 2 c + b = 1 ⟹ b = 1 + 2 c

Substituindo na terceira:

4 c + 2 + 4 c = 0 ⟹ 8 c = - 2 ⟹ c = - 1 4

Assim:

a = 1 4

E:

b = 1 - 1 2 = 1 2

Portanto:

s ( s 2 + 4 ) ( s + 2 ) = 1 4 ⋅ s + 2 s 2 + 4 - 1 4 ⋅ 1 s + 2

Passo 3

Agora ficou bem mais fácil achar a inversa. Substituindo o valor:

L - 1 1 4 ⋅ s + 2 s 2 + 4 - 1 4 ⋅ 1 s + 2

Como a transformada inversa também é linear:

L - 1 1 4 ⋅ s + 2 s 2 + 4 - 1 4 ⋅ 1 s + 2 = 1 4 L - 1 s + 2 s 2 + 4 - 1 4 L - 1 1 s + 2

A primeira transformada não é muito clara de ver de cara. Precisamos separar para chegar em algo que identifique:

1 4 L - 1 s + 2 s 2 + 4 = 1 4 L - 1 s s 2 + 4 + 1 4 L - 1 2 s 2 + 4

Agora sim. Como:

L cos ⁡ a t = s s 2 + 4 L sen ⁡ a t = a s 2 + a 2

Então:

1 4 L - 1 s s 2 + 4 + 1 4 L - 1 2 s 2 + 4 = 1 4 ⋅ cos ⁡ 2 t + 1 4 sen ⁡ ( 2 t )

Passo 4

Agora, para a transformada inversa que falta:

1 4 L - 1 1 s + 2 = 1 4 e - 2 t

Que é transformada de 1 deslocada pela exponencial. Lembre-se que o sinal aqui é trocado!

Assim, juntando tudo:

L - 1 s ( s 2 + 4 ) ( s + 2 )   = 1 4 ⋅ cos ⁡ 2 t + 1 4 sen ⁡ 2 t - 1 4 e - 2 t

Resposta

L - 1 s ( s 2 + 4 ) ( s + 2 )   = 1 4 ⋅ cos ⁡ 2 t + 1 4 sen ⁡ 2 t - 1 4 e - 2 t

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