Exercícios Resolvidos de Transformadas Inversas

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Enunciado

Nos problemas de (a) até (p) use o teorema da transformada inversa   ℒ - 1 {   f ( t ) } para encontrar f ( t ) .

(p)   ℒ - 1 { s ( s 2 + 4 ) ( s + 2 ) }  

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos que usar o teorema da transformada inversa   ℒ - 1 {   f ( t ) } para encontrar a f ( t ) :

  ℒ - 1 { s ( s 2 + 4 ) ( s + 2 ) }  

Vamos manipular essa função, se necessário, e então utilizar a tabela de transformada de Laplace. Vem comigo!

Passo 2

Precisamos escrever nossa fração como uma soma de frações parciais

  ℒ - 1 { s ( s 2 + 4 ) ( s + 2 ) }     = ℒ - 1 { A s + B s 2 + 4 + C ( s + 2 ) }

Para encontrar A, B e C, temos que

s ( s 2 + 4 ) ( s + 2 ) = A s ( s + 2 ) + B ( s + 2 ) + C ( s 2 + 4 ) ( s 2 + 4 ) ( s + 2 )

que resulta na igualdade

s = A   ( s 2 + 2 s ) + B   ( s + 2 ) + C ( s 2 + 4 )

Então, igualando os coeficientes de s 2 ,   s   e constantes de ambos os lados, temos que

A + C = 0           ( 1 )

2 A + B = 1           ( 2 )

2 B + 4 C = 0           ( 3 )

precisamos resolver o sistema para todas as constantes! Bora lá!

Passo 3

Temos da terceira equação que

B = - 2 C

usando isso na segunda equação, temos que

2 A - 2 C = 1

portanto, temos que

A = 1 2 + C

Usando então a primeira equação, temos então que

1 2 + C + C = 0

Que resulta em C = - 1 4 , e portanto, temos que

B = 1 2 e A = 1 4

e, a nossa transformada se torna

  ℒ - 1 { s ( s 2 + 4 ) ( s + 2 ) }     = ℒ - 1 { 1 4 s s 2 + 4 + 1 2 1 s 2 + 4 - 1 4 1 ( s + 2 ) }

Agora podemos começar a identificar os termos! Saca só!

Passo 4

Lembrando que a transformada inversa da soma é a soma das transformadas

ℒ - 1 { 1 4 s s 2 + 4 + 1 2 1 s 2 + 4 - 1 4 1 ( s + 2 ) } = 1 4   ℒ - 1 { s s 2 + 4 } + 1 2 ℒ - 1 { 1 s 2 + 4 } - 1 4 ℒ - 1 { 1 ( s + 2 ) }

Temos que, se ℒ {   f ( t ) } é a transformada de Laplace de f ( t ) , então dizemos que f ( t ) = ℒ - 1 {   f ( t ) } é a transformada inversa de Laplace da função   F ( s ) . Então, sabendo disso, já podemos utilizar a tabela para obter a f ( t ) . Temos que

ℒ { e - 2 t } =     1 s + 2

ℒ { c o s ( 2 t ) } =   s s 2 + 4

ℒ { s e n ( 2 t ) } =     2 s + 4

quase todos podem ser identificados diretamente em nossa transformada, com exceção do seno, mas, se multiplicarmos e dividirmos por 2 , o termo de 1 s 2 + 4 , podemos escrever

1 4   ℒ - 1 { s s 2 + 4 } + 1 2 ℒ - 1 { 1 s 2 + 4 } - 1 4 ℒ - 1 { 1 ( s + 2 ) } = 1 4   ℒ - 1 { s s 2 + 4 } + 1 4 ℒ - 1 { 2 s 2 + 4 } - 1 4 ℒ - 1 { 1 ( s + 2 ) }

de forma que temos finalmente

1 4   ℒ - 1 { s s 2 + 4 } + 1 4 ℒ - 1 { 2 s 2 + 4 } - 1 4 ℒ - 1 { 1 ( s + 2 ) } = 1 4 c o s ( 2 t ) + 1 4 s e n ( 2 t ) - 1 4 e - 2 t

ou resumindo, temos que

f ( t ) = 1 4 c o s ( 2 t ) + 1 4 s e n ( 2 t ) - 1 4 e - 2 t

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

f ( t ) = 1 4 c o s ( 2 t ) + 1 4 s e n ( 2 t ) - 1 4 e - 2 t

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