Exercícios Resolvidos de Transformadas Inversas

Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp. 370-32.

Calcule:

L - 1 1 s 4 - 9

Passo 1

s 4 ? ? AHHHHHHHHH! Calma, jovem. É só você lembrar do conjugado aqui:

a 2 - b 2 = ( a + b ) ( a - b )

Então:

s 4 - 9 = s 2 2 - 3 2 = ( s 2 + 3 ) ( s 2 - 3 )

Assim:

1 s 4 - 9 = 1 ( s 2 + 3 ) ( s 2 - 3 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Essa transformada ainda não ficou lá muito clara. Então vamos tentar separar isso em frações parciais. Lembrando que:

s 2 - 3 = ( s + 3 ) ( s - 3 )

O outro polinômio não possui raízes reais. Então podemos separar da seguinte forma:

1 s 2 + 3 s 2 - 3 = a s + b s 2 + 3 + c s + 3 + d s - 3

Agora vamos juntar tudo para comparar os polinômios:

a s + b s 2 - 3 + c s 2 + 3 s - 3 + d s 2 + 3 s + 3 s 2 + 3 s 2 - 3 =

a s 3 + b s 2 - 3 a s - 3 b + c s 3 - 3 s 2 + 3 s - 3 3 + d ( s 3 + 3 s 2 + 3 s + 3 3 ) s 2 + 3 s 2 - 3

Juntando os termos de mesmo grau:

a + c + d s 3 + b - 3 c + 3 d s 2 + - 3 a + 3 c + 3 d s + - 3 b - 3 3 c + 3 3 d s 2 + 3 s 2 - 3

= 1 s 2 + 3 s 2 - 3

Comparando os coeficientes:

a + c + d = 0 b - 3 c + 3 d = 0 - 3 a + 3 c + 3 d = 0 - 3 b - 3 3 c + 3 3 d = 1

É, eu sei, é um sistema bem grandinho. Resolvendo isso aí, encontraremos:

a = 0 ,     b = - 1 6 ,     d = 1 4 ⋅ 3 3 / 2 ,     c = - 1 4 ⋅ 3 3 / 2

Então, substituímos:

1 s 2 + 3 s 2 - 3 = - 1 6 ⋅ 1 s 2 + 3 - 1 4 ⋅ 3 3 / 2 ⋅ 1 s + 3 + 1 4 ⋅ 3 3 / 2 ⋅ 1 s - 3

Então:

L - 1 1 s 2 + 3 s 2 - 3 = L - 1 - 1 6 ⋅ 1 s 2 + 3 - 1 4 ⋅ 3 3 / 2 ⋅ 1 s + 3 + 1 4 ⋅ 3 3 / 2 ⋅ 1 s - 3

Como a transformada inversa é linear:

… = - 1 6 L - 1 1 s 2 + 3 - 1 4 ⋅ 3 3 / 2 L - 1 1 s + 3 + 1 4 ⋅ 3 3 / 2 L - 1 1 s - 3

Passo 3

Para chegar no molde bonitinho de:

L sen ⁡ a t = a s 2 + a 2

Multiplicamos e dividimos por 3 / 3 :

- 1 6 L - 1 1 s 2 + 3 = - 1 6 3 L - 1 3 s 2 + 3 = - 1 6 3 sen ⁡ ( 3 t )

Para das demais, temos a derivada de 1 deslocada em virtude de uma exponencial:

L e a t = 1 s - a

Então:

- 1 4 ⋅ 3 3 / 2 L - 1 1 s + 3 = - 1 4 ⋅ 3 3 / 2 e - 3 t

E:

1 4 ⋅ 3 3 / 2 L - 1 1 s - 3 = 1 4 ⋅ 3 3 / 2 e 3 t

Juntando tudo:

L - 1 1 s 4 - 9 = - 1 6 3 sen ⁡ 3 t - 1 4 ⋅ 3 3 / 2 e - 3 t + 1 4 ⋅ 3 3 / 2 e 3 t

Resposta

L - 1 1 s 4 - 9 = - 1 6 3 sen ⁡ 3 t - 1 4 ⋅ 3 3 / 2 e - 3 t + 1 4 ⋅ 3 3 / 2 e 3 t

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas